Problema de valor límite

Tipo de problema que involucra EDO o PDE

Muestra una región donde una ecuación diferencial es válida y los valores límite asociados.

En el estudio de ecuaciones diferenciales , un problema de valores en la frontera es una ecuación diferencial sujeta a restricciones llamadas condiciones de frontera . ^[1] Una solución a un problema de valores en la frontera es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de frontera.

Los problemas de valores en la frontera surgen en varias ramas de la física, como los tendrá cualquier ecuación diferencial física. Los problemas que involucran la ecuación de onda , como la determinación de modos normales , a menudo se plantean como problemas de valores límite. Una gran clase de problemas importantes de valores en la frontera son los problemas de Sturm-Liouville . El análisis de estos problemas, en el caso lineal, involucra las funciones propias de un operador diferencial .

Para que sea útil en aplicaciones, un problema de valor límite debe estar bien planteado . Esto significa que dada la entrada al problema existe una solución única, que depende continuamente de la entrada. Gran parte del trabajo teórico en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales se dedica a demostrar que los problemas de valores en la frontera que surgen de aplicaciones científicas y de ingeniería están, de hecho, bien planteados.

Entre los primeros problemas de valores límite que se estudiaron se encuentra el problema de Dirichlet , de encontrar las funciones armónicas (soluciones a la ecuación de Laplace ); la solución estuvo dada por el principio de Dirichlet .

Explicación

Los problemas de valores en la frontera son similares a los problemas de valores iniciales . Un problema de valor límite tiene condiciones especificadas en los extremos ("límites") de la variable independiente en la ecuación, mientras que un problema de valor inicial tiene todas las condiciones especificadas en el mismo valor de la variable independiente (y ese valor está en el límite inferior). del dominio, de ahí el término valor "inicial"). Un valor límite es un valor de datos que corresponde a un valor de entrada, interno o de salida mínimo o máximo especificado para un sistema o componente. ^[2]

Por ejemplo, si la variable independiente es el tiempo en el dominio [0,1], un problema de valores límite especificaría valores para en ambos y , mientras que un problema de valores iniciales especificaría un valor de y en el tiempo . ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle t=0}$

Encontrar la temperatura en todos los puntos de una barra de hierro con un extremo mantenido en el cero absoluto y el otro extremo en el punto de congelación del agua sería un problema de valores límite.

Si el problema depende tanto del espacio como del tiempo, se podría especificar el valor del problema en un punto determinado para todo el tiempo o en un momento determinado para todo el espacio.

Concretamente, un ejemplo de un problema de valor límite (en una dimensión espacial) es

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

a resolver para la función desconocida con las condiciones de contorno ${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Sin las condiciones de contorno, la solución general de esta ecuación es

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

De la condición de frontera se obtiene ${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

lo que implica que a partir de la condición de frontera se encuentra ${\displaystyle B=0.}$ ${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

y así se ve que imponer condiciones de contorno permitió determinar una solución única, que en este caso es ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Tipos de problemas de valores límite

Condiciones de valor límite

Encontrar una función para describir la temperatura de esta barra 2D idealizada es un problema de valor límite con las condiciones de contorno de Dirichlet . Cualquier función de solución resolverá la ecuación del calor y cumplirá las condiciones de contorno de una temperatura de 0 K en el límite izquierdo y una temperatura de 273,15 K en el límite derecho.

Una condición de frontera que especifica el valor de la función en sí es una condición de frontera de Dirichlet , o condición de frontera de primer tipo. Por ejemplo, si un extremo de una barra de hierro se mantiene en el cero absoluto, entonces se conocería el valor del problema en ese punto del espacio.

Una condición de frontera que especifica el valor de la derivada normal de la función es una condición de frontera de Neumann , o condición de frontera de segundo tipo. Por ejemplo, si hay un calentador en un extremo de una barra de hierro, entonces se agregaría energía a un ritmo constante pero no se conocería la temperatura real.

Si la frontera tiene la forma de una curva o superficie que da un valor a la derivada normal y a la variable misma entonces es una condición de frontera de Cauchy .

Ejemplos

Resumen de las condiciones de contorno para la función desconocida, constantes y especificadas por las condiciones de contorno, y funciones escalares conocidas y especificadas por las condiciones de contorno. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Operadores diferenciales

Además de la condición de frontera, los problemas de valores de frontera también se clasifican según el tipo de operador diferencial involucrado. Para un operador elíptico , se analizan los problemas de valores de frontera elípticos . Para un operador hiperbólico , se analizan problemas de valores límite hiperbólicos. Estas categorías se subdividen en tipos lineales y varios tipos no lineales.

Aplicaciones

Potencial electromagnético

En electrostática , un problema común es encontrar una función que describa el potencial eléctrico de una región determinada. Si la región no contiene carga, el potencial debe ser una solución de la ecuación de Laplace (la llamada función armónica ). Las condiciones límite en este caso son las condiciones de interfaz para campos electromagnéticos . Si no hay densidad de corriente en la región, también es posible definir un potencial escalar magnético mediante un procedimiento similar.

Ver también

Notas

1. Daniel Zwillinger (12 de mayo de 2014). Manual de ecuaciones diferenciales. Ciencia Elsevier. págs. 536–. ISBN 978-1-4832-2096-3.
2. Norma internacional ISO/IEC/IEEE: ingeniería de software y sistemas . ISO/IEC/IEEE 24765:2010(E). págs. vol., núm., págs.1-418.

Referencias

• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (segunda edición) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Ratón, 2003. ISBN 1-58488-297-2 . 
• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 . 

enlaces externos

• "Problemas de valores en la frontera en la teoría del potencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Problema de valores en la frontera, métodos de variables complejas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones diferenciales parciales lineales: soluciones exactas y problemas de valores en la frontera en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Problema del valor límite". Scholarpedia .