Condición de contorno de Cauchy

Problema de valores en la frontera en ecuaciones diferenciales

En matemáticas , una condición de contorno de Cauchy ( en francés: [koʃi] ) amplía una ecuación diferencial ordinaria o una ecuación diferencial parcial con condiciones que la solución debe satisfacer en el contorno; idealmente de modo de asegurar que exista una solución única. Una condición de contorno de Cauchy especifica tanto el valor de la función como la derivada normal en el contorno del dominio . Esto corresponde a imponer tanto una condición de contorno de Dirichlet como una de Neumann . Recibe su nombre en honor al prolífico analista matemático francés del siglo XIX Augustin-Louis Cauchy .

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Las condiciones de contorno de Cauchy son simples y comunes en las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden .

${\displaystyle y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s{\big )},}$

donde, para asegurar que existe una solución única, se puede especificar el valor de la función y el valor de la derivada en un punto dado , es decir, ${\displaystyle y(s)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle s=a}$

${\displaystyle y(a)=\alpha ,}$

y

${\displaystyle y'(a)=\beta ,}$

donde es un límite o punto inicial. Dado que el parámetro suele ser el tiempo, las condiciones de Cauchy también pueden denominarse condiciones de valor inicial o datos de valor inicial o simplemente datos de Cauchy . Un ejemplo de una situación de este tipo son las leyes de movimiento de Newton, donde la aceleración depende de la posición , la velocidad y el tiempo ; aquí, los datos de Cauchy corresponden a conocer la posición y la velocidad iniciales. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y''}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle s}$

Ecuaciones diferenciales parciales

En el caso de las ecuaciones diferenciales parciales, las condiciones de contorno de Cauchy especifican tanto la función como la derivada normal en el contorno. Para simplificar y concretar las cosas, considere una ecuación diferencial de segundo orden en el plano

${\displaystyle A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{x},\psi _{y}),}$

donde es la solución desconocida, denota derivada de con respecto a etc. Las funciones especifican el problema. ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi _{x}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,B,C,F}$

Ahora buscamos una que satisfaga la ecuación diferencial parcial en un dominio , que es un subconjunto del plano, y tal que las condiciones de contorno de Cauchy ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n} \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)}$

Se cumple para todos los puntos límite . Aquí está la derivada en la dirección de la normal al límite. Las funciones y son los datos de Cauchy. ${\displaystyle (x,y)\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \nabla \psi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Observe la diferencia entre una condición de contorno de Cauchy y una condición de contorno de Robin . En la primera, especificamos tanto la función como la derivada normal. En la segunda, especificamos un promedio ponderado de las dos.

Nos gustaría que las condiciones de contorno garantizaran que existiera exactamente una solución (única), pero para las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden no es tan sencillo garantizar la existencia y unicidad como lo es para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Los datos de Cauchy son más relevantes de inmediato para problemas hiperbólicos (por ejemplo, la ecuación de onda ) en dominios abiertos (por ejemplo, el semiplano). ^[1]

Véase también

• Condición de contorno de Dirichlet
• Condición de contorno mixta
• Condición de contorno de Neumann
• Condición de borde de Robin

Referencias

1. Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (13 de marzo de 2006). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . pp. 705. ISBN 978-0-521-67971-8.