Condición de contorno de Neumann

Matemáticas

En matemáticas , la condición de contorno de Neumann (o de segundo tipo ) es un tipo de condición de contorno , llamada así en honor a Carl Neumann . ^[1] Cuando se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial , la condición especifica los valores de la derivada aplicada en el límite del dominio .

Es posible describir el problema utilizando otras condiciones de límite: una condición de límite de Dirichlet especifica los valores de la solución misma (en oposición a su derivada) en el límite, mientras que la condición de límite de Cauchy , la condición de límite mixta y la condición de límite de Robin son todos tipos diferentes de combinaciones de las condiciones de límite de Neumann y Dirichlet.

Ejemplos

ODA

Para una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo,

${\displaystyle y''+y=0,}$

Las condiciones de contorno de Neumann en el intervalo [ a , b ] toman la forma

${\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}$

donde α y β son números dados.

EDP

Para una ecuación diferencial parcial, por ejemplo,

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

donde ∇ ² denota el operador de Laplace , las condiciones de contorno de Neumann en un dominio Ω ⊂ R ⁿ toman la forma

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}$

donde n denota la normal (normalmente exterior) al límite ∂Ω , y f es una función escalar dada .

La derivada normal , que aparece en el lado izquierdo, se define como

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}$

donde ∇ y ( x ) representa el vector de gradiente de y ( x ) , n̂ es la normal unitaria y ⋅ representa el operador de producto interno .

Queda claro que el límite debe ser suficientemente suave para que pueda existir la derivada normal, ya que, por ejemplo, en los puntos de esquina del límite el vector normal no está bien definido.

Aplicaciones

Las siguientes aplicaciones implican el uso de condiciones de contorno de Neumann:

• En termodinámica , un flujo de calor prescrito desde una superficie serviría como condición de contorno. Por ejemplo, un aislante perfecto no tendría flujo, mientras que un componente eléctrico podría estar disipándose a una potencia conocida.
• En magnetostática , la intensidad del campo magnético se puede prescribir como una condición de contorno para encontrar la distribución de la densidad del flujo magnético en una matriz de imanes en el espacio, por ejemplo, en un motor de imán permanente. Dado que los problemas en magnetostática implican la solución de la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson para el potencial escalar magnético , la condición de contorno es una condición de Neumann.
• En ecología espacial , una condición de contorno de Neumann en un sistema de reacción-difusión , como la ecuación de Fisher , puede interpretarse como un límite reflectante, de modo que todos los individuos que encuentran ∂Ω se reflejan de nuevo en Ω . ^[2]

Véase también

• Condiciones de contorno en dinámica de fluidos
• Condición de contorno de Dirichlet
• Condición de borde de Robin

Referencias

1. Cheng, AH-D.; Cheng, DT (2005). "Herencia e historia temprana del método de elementos de contorno". Análisis de ingeniería con elementos de contorno . 29 (3): 268. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
2. Cantrell, Robert Stephen; Cosner, Chris (2003). Ecología espacial mediante ecuaciones de reacción-difusión . Wiley. págs. 30-31. ISBN. 0-471-49301-5.