Campo escalar

En matemáticas y física , un campo escalar es una función que asocia un único número a cada punto de una región del espacio , posiblemente el espacio físico . El escalar puede ser un número matemático puro ( adimensional ) o una cantidad física escalar (con unidades ).

En un contexto físico, se requiere que los campos escalares sean independientes de la elección del marco de referencia. Es decir, dos observadores cualesquiera que utilicen las mismas unidades estarán de acuerdo en el valor del campo escalar en el mismo punto absoluto en el espacio (o espacio-tiempo ) independientemente de sus respectivos puntos de origen. Los ejemplos utilizados en física incluyen la distribución de temperatura en el espacio, la distribución de presión en un fluido y los campos cuánticos de espín cero, como el campo de Higgs . Estos campos son el tema de la teoría de campos escalares .

Definición

Matemáticamente, un campo escalar en una región U es una función o distribución real o de valor complejo en U. ^[1]^[2] La región U puede ser un conjunto en algún espacio euclidiano , espacio de Minkowski o , de manera más general, un subconjunto de una variedad , y es típico en matemáticas imponer condiciones adicionales al campo, de modo que sea continuo o, a menudo, continuamente diferenciable hasta cierto orden. Un campo escalar es un campo tensorial de orden cero, ^[3] y el término "campo escalar" puede usarse para distinguir una función de este tipo con un campo tensorial, densidad o forma diferencial más general .

El campo escalar oscila a medida que aumenta. El rojo representa valores positivos, el violeta representa valores negativos y el azul cielo representa valores cercanos a cero.

\sin(2\pi (xy+\sigma ))

{\estilo de visualización \sigma}

Físicamente, un campo escalar se distingue además por tener unidades de medida asociadas a él. En este contexto, un campo escalar también debería ser independiente del sistema de coordenadas utilizado para describir el sistema físico, es decir, dos observadores cualesquiera que utilicen las mismas unidades deben estar de acuerdo sobre el valor numérico de un campo escalar en cualquier punto dado del espacio físico. Los campos escalares se contrastan con otras cantidades físicas como los campos vectoriales , que asocian un vector a cada punto de una región, así como los campos tensoriales y los campos de espinores . ^{[ cita requerida ]} De manera más sutil, los campos escalares a menudo se contrastan con los campos pseudoescalares .

Usos en física

En física, los campos escalares suelen describir la energía potencial asociada a una fuerza particular . La fuerza es un campo vectorial , que se puede obtener como un factor del gradiente del campo escalar de energía potencial. Algunos ejemplos son:

Los campos potenciales, como el potencial gravitacional newtoniano o el potencial eléctrico en electrostática , son campos escalares que describen las fuerzas más familiares.
Un campo de temperatura , humedad o presión , como los utilizados en meteorología .

Ejemplos en la teoría cuántica y la relatividad

En la teoría cuántica de campos , un campo escalar está asociado con partículas de espín 0. El campo escalar puede tener un valor real o complejo. Los campos escalares complejos representan partículas cargadas. Entre ellos se incluyen el campo de Higgs del Modelo Estándar , así como los piones cargados que median la interacción nuclear fuerte . ^[4]
En el Modelo Estándar de partículas elementales, se utiliza un campo escalar de Higgs para dar a los leptones y a los bosones vectoriales masivos su masa, mediante una combinación de la interacción de Yukawa y la ruptura espontánea de la simetría . Este mecanismo se conoce como mecanismo de Higgs . ^[5] Un candidato para el bosón de Higgs se detectó por primera vez en el CERN en 2012.
En las teorías escalares de la gravitación se utilizan campos escalares para describir el campo gravitacional.
Las teorías escalar-tensoriales representan la interacción gravitacional a través de un tensor y un escalar. Algunos ejemplos de este tipo de teorías son la teoría de Jordan ^[6] como generalización de la teoría de Kaluza-Klein y la teoría de Brans-Dicke ^[7] .

Los campos escalares como el campo de Higgs se pueden encontrar dentro de las teorías escalar-tensoriales, utilizando como campo escalar el campo de Higgs del Modelo Estándar . ^[8]^[9] Este campo interactúa gravitacionalmente y de manera similar a Yukawa (de corto alcance) con las partículas que obtienen masa a través de él. ^[10]

Los campos escalares se encuentran dentro de las teorías de supercuerdas como campos dilatones , rompiendo la simetría conforme de la cuerda, aunque equilibrando las anomalías cuánticas de este tensor. ^[11]
Se ha planteado la hipótesis de que los campos escalares causaron la expansión acelerada del universo primitivo ( inflación ), ^[12] lo que ayudó a resolver el problema del horizonte y dio una razón hipotética para la constante cosmológica no nula de la cosmología. Los campos escalares sin masa (es decir, de largo alcance) en este contexto se conocen como inflatones . También se proponen campos escalares masivos (es decir, de corto alcance), utilizando, por ejemplo, campos tipo Higgs. ^[13]

Otros tipos de campos

Campos vectoriales , que asocian un vector a cada punto del espacio. Algunos ejemplos de campos vectoriales incluyen el campo electromagnético y el flujo de aire ( viento ) en meteorología.
Campos tensoriales , que asocian un tensor a cada punto del espacio. Por ejemplo, en la relatividad general, la gravitación está asociada con el campo tensorial llamado tensor de Einstein . En la teoría de Kaluza-Klein , el espacio-tiempo se extiende a cinco dimensiones y su tensor de curvatura de Riemann se puede separar en la gravitación ordinaria de cuatro dimensiones más un conjunto adicional, que es equivalente a las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético , más un campo escalar adicional conocido como " dilatón ". ^{[ cita requerida ]} (El escalar dilatón también se encuentra entre los campos bosónicos sin masa en la teoría de cuerdas ).

Véase también

Referencias

^ Apostol, Tom (1969). Cálculo . Vol. II (2.ª ed.). Wiley.
^ "Escalar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
^ "Campo escalar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
^ Técnicamente, los piones son en realidad ejemplos de mesones pseudoescalares , que no son invariantes bajo la inversión espacial, pero sí lo son bajo las transformaciones de Lorentz.
^ PW Higgs (octubre de 1964). "Simetrías rotas y masas de los bosones gauge". Phys. Rev. Lett . 13 (16): 508–509. Código Bibliográfico :1964PhRvL..13..508H. doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .
^ Jordania, P. (1955). Schwerkraft und Weltall. Braunschweig: Vieweg.
^ Brans, C.; Dicke, R. (1961). "El principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación". Phys. Rev. 124 ( 3): 925. Bibcode :1961PhRv..124..925B. doi :10.1103/PhysRev.124.925.
^ Zee, A. (1979). "Teoría de la gravedad con simetría rota". Phys. Rev. Lett . 42 (7): 417–421. Código Bibliográfico :1979PhRvL..42..417Z. doi :10.1103/PhysRevLett.42.417.
^ Dehnen, H.; Frommert, H.; Ghaboussi, F. (1992). "Campo de Higgs y una nueva teoría escalar-tensorial de la gravedad". Int. J. Theor. Phys . 31 (1): 109. Bibcode :1992IJTP...31..109D. doi :10.1007/BF00674344. S2CID 121308053.
^ Dehnen, H.; Frommmert, H. (1991). "Gravedad del campo de Higgs dentro del modelo estándar". Int. J. Theor. Phys . 30 (7): 985–998 [p. 987]. Código Bibliográfico :1991IJTP...30..985D. doi :10.1007/BF00673991. S2CID 120164928.
^ Brans, CH (2005). "Las raíces de la teoría escalar-tensor". arXiv : gr-qc/0506063 .
^ Guth, A. (1981). "Universo inflacionario: una posible solución a los problemas de horizonte y planitud". Phys. Rev. D . 23 (2): 347–356. Bibcode :1981PhRvD..23..347G. doi : 10.1103/PhysRevD.23.347 .
^ Cervantes-Cota, JL; Dehnen, H. (1995). "Inflación gravitacional inducida en la GUT SU(5)". Phys. Rev. D . 51 (2): 395–404. arXiv : astro-ph/9412032 . Código Bibliográfico :1995PhRvD..51..395C. doi :10.1103/PhysRevD.51.395. PMID 10018493. S2CID 11077875.