En matemáticas , un espacio es un conjunto (a veces llamado universo ) con alguna estructura añadida . Si bien las matemáticas modernas utilizan muchos tipos de espacios, como espacios euclidianos , espacios lineales , espacios topológicos , espacios de Hilbert o espacios de probabilidad , no definen la noción de "espacio" en sí. [1] [un]
Un espacio consta de objetos matemáticos seleccionados que se tratan como puntos y relaciones seleccionadas entre estos puntos. La naturaleza de los puntos puede variar ampliamente: por ejemplo, los puntos pueden ser elementos de un conjunto, funciones en otro espacio o subespacios de otro espacio. Son las relaciones las que definen la naturaleza del espacio. Más precisamente, los espacios isomorfos se consideran idénticos, donde un isomorfismo entre dos espacios es una correspondencia uno a uno entre sus puntos que preserva las relaciones. Por ejemplo, las relaciones entre los puntos de un espacio euclidiano tridimensional están determinadas únicamente por los axiomas de Euclides, [b] y todos los espacios euclidianos tridimensionales se consideran idénticos.
Nociones topológicas como la continuidad tienen definiciones naturales en todo espacio euclidiano. Sin embargo, la topología no distingue líneas rectas de líneas curvas, por lo que la relación entre los espacios euclidianos y topológicos es "olvidadiza". Relaciones de este tipo se tratan con más detalle en el apartado "Tipos de espacios".
No siempre está claro si un objeto matemático determinado debe considerarse como un "espacio" geométrico o una "estructura" algebraica. Una definición general de "estructura", propuesta por Bourbaki , [2] abarca todos los tipos comunes de espacios, proporciona una definición general de isomorfismo y justifica la transferencia de propiedades entre estructuras isomorfas.
En las matemáticas griegas antiguas, el "espacio" era una abstracción geométrica de la realidad tridimensional observada en la vida cotidiana. Alrededor del año 300 a. C., Euclides dio axiomas para las propiedades del espacio. Euclides construyó todas las matemáticas sobre estos fundamentos geométricos, llegando incluso a definir los números comparando las longitudes de los segmentos de línea con la longitud de un segmento de referencia elegido.
El método de las coordenadas ( geometría analítica ) fue adoptado por René Descartes en 1637. [3] En aquella época, los teoremas geométricos eran tratados como verdades objetivas absolutas cognoscibles a través de la intuición y la razón, similares a los objetos de las ciencias naturales; [4] : 11 y los axiomas fueron tratados como implicaciones obvias de las definiciones. [4] : 15
Se utilizaron dos relaciones de equivalencia entre figuras geométricas: congruencia y semejanza . Traslaciones, rotaciones y reflexiones transforman una figura en figuras congruentes; homotecias - en figuras similares. Por ejemplo, todos los círculos son similares entre sí, pero las elipses no son similares a los círculos. Una tercera relación de equivalencia, introducida por Gaspard Monge en 1795, ocurre en la geometría proyectiva : no sólo las elipses, sino también las parábolas y las hipérbolas, se convierten en círculos bajo transformaciones proyectivas apropiadas; todas ellas son figuras proyectivamente equivalentes.
La relación entre las dos geometrías, euclidiana y proyectiva, [4] : 133 muestra que los objetos matemáticos no nos son dados con su estructura . [4] : 21 Más bien, cada teoría matemática describe sus objetos mediante algunas de sus propiedades, precisamente aquellas que se ponen como axiomas en los fundamentos de la teoría. [4] : 20
Las distancias y los ángulos no pueden aparecer en los teoremas de la geometría proyectiva, ya que estas nociones no se mencionan en los axiomas de la geometría proyectiva ni se definen a partir de las nociones allí mencionadas. La pregunta "¿cuál es la suma de los tres ángulos de un triángulo" tiene sentido en la geometría euclidiana pero no tiene sentido en la geometría proyectiva.
Una situación diferente apareció en el siglo XIX: en algunas geometrías la suma de los tres ángulos de un triángulo está bien definida pero difiere del valor clásico (180 grados). La geometría hiperbólica no euclidiana , introducida por Nikolai Lobachevsky en 1829 y János Bolyai en 1832 (y Carl Friedrich Gauss en 1816, inédito) [4] : 133 afirmó que la suma depende del triángulo y es siempre menor que 180 grados. Eugenio Beltrami en 1868 y Felix Klein en 1871 obtuvieron "modelos" euclidianos de la geometría hiperbólica no euclidiana y, por tanto, justificaron completamente esta teoría como una posibilidad lógica. [4] : 24 [5]
Este descubrimiento obligó a abandonar las pretensiones de verdad absoluta de la geometría euclidiana. Demostró que los axiomas no son "obvios" ni "implicaciones de las definiciones". Más bien son hipótesis. ¿En qué medida corresponden a una realidad experimental? Este importante problema físico ya no tiene nada que ver con las matemáticas. Incluso si una "geometría" no corresponde a una realidad experimental, sus teoremas no son menos "verdades matemáticas". [4] : 15
Un modelo euclidiano de una geometría no euclidiana es una elección de algunos objetos existentes en el espacio euclidiano y algunas relaciones entre estos objetos que satisfacen todos los axiomas (y por tanto, todos los teoremas) de la geometría no euclidiana. Estos objetos y relaciones euclidianas "reproducen" la geometría no euclidiana como actores contemporáneos que representan una representación antigua. Los actores pueden imitar una situación que nunca ocurrió en la realidad. Las relaciones entre los actores en escena imitan las relaciones entre los personajes de la obra. Asimismo, las relaciones elegidas entre los objetos elegidos del modelo euclidiano imitan las relaciones no euclidianas. Muestra que las relaciones entre objetos son esenciales en matemáticas, mientras que la naturaleza de los objetos no lo es.
La palabra "geometría" (del griego antiguo: geo- "tierra", -metron "medición") inicialmente significaba una forma práctica de procesar longitudes, regiones y volúmenes en el espacio en el que vivimos, pero luego se extendió ampliamente (también como la noción de espacio en cuestión aquí).
Según Bourbaki, [4] : 131 el período comprendido entre 1795 ( Géométrie descriptiva de Monge) y 1872 (el "programa de Erlangen" de Klein) puede denominarse "la edad de oro de la geometría". El espacio original investigado por Euclides ahora se llama espacio euclidiano tridimensional . Su axiomatización, iniciada por Euclides hace 23 siglos, fue reformada con los axiomas de Hilbert , los axiomas de Tarski y los axiomas de Birkhoff . Estos sistemas de axiomas describen el espacio mediante nociones primitivas (como "punto", "entre", "congruente") limitadas por una serie de axiomas .
La geometría analítica hizo grandes avances y logró reemplazar los teoremas de la geometría clásica con cálculos mediante invariantes de grupos de transformación. [4] : 134, 5 Desde entonces, los nuevos teoremas de la geometría clásica han sido de más interés para los aficionados que para los matemáticos profesionales. [4] : 136 Sin embargo, la herencia de la geometría clásica no se perdió. Según Bourbaki, [4] : 138 "pasada por alto en su papel de ciencia autónoma y viva, la geometría clásica se transfigura así en un lenguaje universal de las matemáticas contemporáneas".
Al mismo tiempo, los números comenzaron a desplazar a la geometría como base de las matemáticas. Por ejemplo, en el ensayo de 1872 de Richard Dedekind Stetigkeit und irrationale Zahlen ( Continuidad y números irracionales ), afirma que los puntos de una recta deberían tener las propiedades de los cortes de Dedekind y que, por tanto, una recta era lo mismo que el conjunto de números reales. . Dedekind tiene cuidado de señalar que se trata de una suposición que no puede demostrarse. En los tratamientos modernos, la afirmación de Dedekind a menudo se considera la definición de una línea, reduciendo así la geometría a aritmética. El espacio euclidiano tridimensional se define como un espacio afín cuyo espacio vectorial asociado de diferencias de sus elementos está dotado de un producto interno. [6] Una definición "desde cero", como en Euclides, ahora no se utiliza con frecuencia, ya que no revela la relación de este espacio con otros espacios. Además, un espacio proyectivo tridimensional ahora se define como el espacio de todos los subespacios unidimensionales (es decir, líneas rectas que pasan por el origen) de un espacio vectorial de cuatro dimensiones. Este cambio de fundamentos requiere un nuevo conjunto de axiomas, y si se adoptan estos axiomas, los axiomas clásicos de la geometría se convierten en teoremas.
Un espacio ahora consta de objetos matemáticos seleccionados (por ejemplo, funciones en otro espacio, o subespacios de otro espacio, o simplemente elementos de un conjunto) tratados como puntos y relaciones seleccionadas entre estos puntos. Por tanto, los espacios son sólo estructuras matemáticas de conveniencia. Se puede esperar que las estructuras llamadas "espacios" se perciban de forma más geométrica que otros objetos matemáticos, pero esto no siempre es cierto.
Según la famosa conferencia inaugural pronunciada por Bernhard Riemann en 1854, todo objeto matemático parametrizado por n números reales puede tratarse como un punto del espacio n -dimensional de todos esos objetos. [4] : 140 Los matemáticos contemporáneos siguen esta idea de forma rutinaria y encuentran extremadamente sugerente utilizar la terminología de la geometría clásica en casi todas partes. [4] : 138
Las funciones son objetos matemáticos importantes. Por lo general, forman espacios funcionales de dimensión infinita , como ya señaló Riemann [4] : 141 y elaborado en el siglo XX mediante análisis funcional .
Si bien cada tipo de espacio tiene su propia definición, la idea general de "espacio" evade la formalización. Algunas estructuras se denominan espacios, otras no, sin un criterio formal. Además, no existe consenso sobre la idea general de "estructura". Según Pudlák, [7] "Las matemáticas [...] no pueden explicarse completamente mediante un solo concepto como la estructura matemática. Sin embargo, el enfoque estructuralista de Bourbaki es el mejor que tenemos". Volveremos al enfoque estructuralista de Bourbaki en la última sección "Espacios y estructuras", mientras que ahora esbozamos una posible clasificación de espacios (y estructuras) en el espíritu de Bourbaki.
Clasificamos espacios en tres niveles. Dado que cada teoría matemática describe sus objetos mediante algunas de sus propiedades, la primera pregunta que cabe plantearse es: ¿qué propiedades? Esto conduce al primer nivel de clasificación (superior). En el segundo nivel se tienen en cuenta las respuestas a preguntas especialmente importantes (entre las preguntas que tienen sentido según el primer nivel). En el tercer nivel de clasificación se tienen en cuenta las respuestas a todas las preguntas posibles.
Por ejemplo, la clasificación de nivel superior distingue entre espacios euclidianos y proyectivos , ya que la distancia entre dos puntos está definida en los espacios euclidianos pero indefinida en los espacios proyectivos. Otro ejemplo. La pregunta "¿cuál es la suma de los tres ángulos de un triángulo" tiene sentido en un espacio euclidiano pero no en un espacio proyectivo. En un espacio no euclidiano la pregunta tiene sentido pero se responde de manera diferente, lo cual no es una distinción de nivel superior.
Además, la distinción entre un plano euclidiano y un espacio tridimensional euclidiano no es una distinción de nivel superior; la pregunta "cuál es la dimensión" tiene sentido en ambos casos.
La clasificación de segundo nivel distingue, por ejemplo, entre espacios euclidianos y no euclidianos; entre espacios de dimensión finita y de dimensión infinita; entre espacios compactos y no compactos, etc. En términos de Bourbaki, [2] la clasificación de segundo nivel es la clasificación por "especies". A diferencia de la taxonomía biológica, un espacio puede pertenecer a varias especies.
La clasificación de tercer nivel distingue, por ejemplo, entre espacios de diferente dimensión, pero no distingue entre un plano de un espacio euclidiano tridimensional, tratado como un espacio euclidiano bidimensional, y el conjunto de todos los pares de números reales. también tratado como un espacio euclidiano bidimensional. Asimismo, no distingue entre diferentes modelos euclidianos de un mismo espacio no euclidiano. Más formalmente, el tercer nivel clasifica los espacios hasta el isomorfismo . Un isomorfismo entre dos espacios se define como una correspondencia uno a uno entre los puntos del primer espacio y los puntos del segundo espacio, que preserva todas las relaciones estipuladas según el primer nivel. Los espacios mutuamente isomórficos se consideran copias de un único espacio. Si uno de ellos pertenece a una determinada especie, todos lo serán.
La noción de isomorfismo arroja luz sobre la clasificación de nivel superior. Dada una correspondencia uno a uno entre dos espacios de la misma clase de nivel superior, uno puede preguntarse si es un isomorfismo o no. Esta pregunta no tiene sentido para dos espacios de diferentes clases.
Un isomorfismo consigo mismo se llama automorfismo. Los automorfismos de un espacio euclidiano son desplazamientos, rotaciones, reflexiones y composiciones de estos. El espacio euclidiano es homogéneo en el sentido de que cada punto puede transformarse en cualquier otro punto mediante algún automorfismo.
Los axiomas euclidianos [b] no dejan libertad; determinan de forma única todas las propiedades geométricas del espacio. Más exactamente: todos los espacios euclidianos tridimensionales son mutuamente isomorfos. En este sentido tenemos "el" espacio euclidiano tridimensional. En términos de Bourbaki, la teoría correspondiente es univalente . Por el contrario, los espacios topológicos generalmente no son isomorfos; su teoría es multivalente . Una idea similar ocurre en lógica matemática: una teoría se llama categórica si todos sus modelos de la misma cardinalidad son mutuamente isomorfos. Según Bourbaki, [8] el estudio de teorías multivalentes es la característica más llamativa que distingue las matemáticas modernas de las matemáticas clásicas.
Las nociones topológicas (continuidad, convergencia, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, etc.) se definen de forma natural en todo espacio euclidiano. En otras palabras, todo espacio euclidiano es también un espacio topológico. Todo isomorfismo entre dos espacios euclidianos es también un isomorfismo entre los espacios topológicos correspondientes (llamado " homeomorfismo "), pero lo contrario es incorrecto: un homeomorfismo puede distorsionar las distancias. En términos de Bourbaki, [2] el "espacio topológico" es una estructura subyacente de la estructura del "espacio euclidiano". Ideas similares ocurren en la teoría de categorías : la categoría de espacios euclidianos es una categoría concreta sobre la categoría de espacios topológicos; el funtor olvidadizo (o "eliminado") asigna la primera categoría a la última categoría.
Un espacio euclidiano tridimensional es un caso especial de espacio euclidiano. En términos de Bourbaki, [2] las especies del espacio euclidiano tridimensional son más ricas que las especies del espacio euclidiano. Asimismo, las especies de espacio topológico compacto son más ricas que las especies de espacio topológico.
Tales relaciones entre especies de espacios pueden expresarse esquemáticamente como se muestra en la Fig. 3. Una flecha de A a B significa que cada espacio A es también un espacio B, o puede tratarse como un espacio B, o proporciona un espacio B. -espacio, etc. Al tratar A y B como clases de espacios, se puede interpretar la flecha como una transición de A a B. (En términos de Bourbaki, [9] "procedimiento de deducción" de un espacio B a partir de un espacio A. No es exactamente una función a menos que las clases A, B sean conjuntos; este matiz no invalida lo siguiente.) Las dos flechas de la figura 3 no son invertibles, pero por diferentes razones.
La transición de lo "euclidiano" a lo "topológico" es olvidadiza. La topología distingue lo continuo de lo discontinuo, pero no distingue lo rectilíneo de lo curvilíneo. La intuición nos dice que la estructura euclidiana no puede restaurarse a partir de la topología. Una prueba utiliza un automorfismo del espacio topológico (es decir, autohomeomorfismo ) que no es un automorfismo del espacio euclidiano (es decir, no una composición de desplazamientos, rotaciones y reflexiones). Tal transformación convierte la estructura euclidiana dada en una estructura euclidiana (isomorfa pero) diferente; ambas estructuras euclidianas corresponden a una única estructura topológica.
Por el contrario, la transición de "euclidiano de 3 luces tenues" a "euclidiano" no es olvidadiza; un espacio euclidiano no tiene por qué ser tridimensional, pero si lo es, está completo y no se pierde ninguna estructura. En otras palabras, la última transición es inyectiva (uno a uno), mientras que la primera transición no es inyectiva (varios a uno). Denotamos las transiciones inyectivas con una flecha con una cola de púas, "↣" en lugar de "→".
Ambas transiciones no son sobreyectivas , es decir, no todo espacio B resulta de algún espacio A. Primero, un espacio euclidiano de 3 dimensiones es un caso especial (no general) de un espacio euclidiano. En segundo lugar, una topología de un espacio euclidiano es un caso especial de topología (por ejemplo, debe ser no compacto y estar conectado, etc.). Denotamos las transiciones sobreyectivas con una flecha de dos puntas, "↠" en lugar de "→". Véase, por ejemplo, la figura 4; allí, la flecha de "topológico lineal real" a "lineal real" tiene dos puntas, ya que todo espacio lineal real admite alguna (al menos una) topología compatible con su estructura lineal.
Esta topología no es única en general, pero es única cuando el espacio lineal real es de dimensión finita. Para estos espacios la transición es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir, biyectiva ; vea la flecha de "topológico lineal real finito-tenue" a "lineal real finito-tenue" en la Fig. 4. La transición inversa existe (y podría mostrarse mediante una segunda flecha hacia atrás). Por tanto, las dos especies de estructuras son equivalentes. En la práctica, no se hace distinción entre especies de estructuras equivalentes. [10] Las estructuras equivalentes pueden tratarse como una sola estructura, como se muestra en un cuadro grande en la Fig. 4.
Las transiciones indicadas por las flechas obedecen a isomorfismos. Es decir, dos espacios A isomórficos conducen a dos espacios B isomórficos .
El diagrama de la Fig. 4 es conmutativo . Es decir, todas las rutas dirigidas en el diagrama con los mismos puntos inicial y final conducen al mismo resultado. Otros diagramas a continuación también son conmutativos, excepto las flechas discontinuas en la Fig. 9. La flecha de "topológico" a "medible" está discontinua por la razón explicada allí: "Para convertir un espacio topológico en un espacio mensurable, se le dota de un σ-álgebra. El σ-álgebra de conjuntos de Borel es la opción más popular, pero no la única." Una flecha sólida denota una transición predominante, denominada "canónica", que se sugiere de forma natural y se utiliza ampliamente, a menudo de forma implícita, por defecto. Por ejemplo, al hablar de una función continua en un espacio euclidiano, no es necesario especificar su topología explícitamente. De hecho, existen topologías alternativas y en ocasiones se utilizan, por ejemplo, la topología fina ; pero éstos siempre se especifican explícitamente, ya que son mucho menos notables que la topología predominante. Una flecha discontinua indica que se están utilizando varias transiciones y ninguna prevalece.
Dos espacios básicos son los espacios lineales (también llamados espacios vectoriales) y los espacios topológicos .
Los espacios lineales son de naturaleza algebraica ; hay espacios lineales reales (sobre el campo de los números reales ), espacios lineales complejos (sobre el campo de los números complejos ) y, más generalmente, espacios lineales sobre cualquier campo. Todo espacio lineal complejo es también un espacio lineal real (el último subyace al primero), ya que cada número complejo puede especificarse mediante dos números reales. Por ejemplo, el plano complejo tratado como un espacio lineal complejo unidimensional puede degradarse a un espacio lineal real bidimensional. Por el contrario, la línea real puede tratarse como un espacio lineal real unidimensional pero no como un espacio lineal complejo. Ver también extensiones de campo . De manera más general, un espacio vectorial sobre un campo también tiene la estructura de un espacio vectorial sobre un subcampo de ese campo. Las operaciones lineales, dadas en un espacio lineal por definición, conducen a nociones como líneas rectas (y planos y otros subespacios lineales); lineas paralelas; elipses (y elipsoides). Sin embargo, es imposible definir líneas ortogonales (perpendiculares) o distinguir círculos entre elipses, porque en un espacio lineal no existe una estructura como un producto escalar que pueda usarse para medir ángulos. La dimensión de un espacio lineal se define como el número máximo de vectores linealmente independientes o, de manera equivalente, como el número mínimo de vectores que abarcan el espacio; puede ser finito o infinito. Dos espacios lineales sobre el mismo campo son isomorfos si y sólo si son de la misma dimensión. Un espacio lineal complejo de n dimensiones es también un espacio lineal real de 2 n dimensiones .
Los espacios topológicos son de naturaleza analítica . Los conjuntos abiertos , dados en un espacio topológico por definición, conducen a nociones tales como funciones continuas , caminos, mapas; secuencias convergentes, límites ; interior, límite, exterior. Sin embargo, la continuidad uniforme , los conjuntos acotados , las secuencias de Cauchy y las funciones diferenciables (caminos, mapas) permanecen indefinidos. Los isomorfismos entre espacios topológicos se denominan tradicionalmente homeomorfismos; se trata de correspondencias uno a uno continuas en ambas direcciones. El intervalo abierto (0,1) es homeomorfo a toda la recta real (−∞,∞) pero no al intervalo cerrado [0,1], ni a un círculo. La superficie de un cubo es homeomorfa con respecto a una esfera (la superficie de una bola), pero no con respecto a un toroide. Los espacios euclidianos de diferentes dimensiones no son homeomórficos, lo que parece evidente, pero no es fácil de demostrar. La dimensión de un espacio topológico es difícil de definir; Se puede utilizar la dimensión inductiva (basada en la observación de que la dimensión del límite de una figura geométrica suele ser uno menos que la dimensión de la figura misma) y la dimensión de cobertura de Lebesgue . En el caso de un espacio euclidiano de n dimensiones , ambas dimensiones topológicas son iguales a n .
Cada subconjunto de un espacio topológico es en sí mismo un espacio topológico (por el contrario, sólo los subconjuntos lineales de un espacio lineal son espacios lineales). Los espacios topológicos arbitrarios, investigados mediante topología general (llamada también topología de conjuntos de puntos) son demasiado diversos para una clasificación completa hasta el homeomorfismo. Los espacios topológicos compactos son una clase importante de espacios topológicos ("especies" de este "tipo"). Toda función continua está acotada en dicho espacio. El intervalo cerrado [0,1] y la recta real extendida [−∞,∞] son compactos; el intervalo abierto (0,1) y la recta (−∞,∞) no lo son. La topología geométrica investiga variedades (otra "especie" de este "tipo"); estos son espacios topológicos localmente homeomorfos a los espacios euclidianos (y que satisfacen algunas condiciones adicionales). Las variedades de baja dimensión están completamente clasificadas hasta el homeomorfismo.
Tanto la estructura lineal como la topológica subyacen a la estructura del espacio topológico lineal (en otras palabras, el espacio vectorial topológico). Un espacio topológico lineal es a la vez un espacio lineal real o complejo y un espacio topológico, de modo que las operaciones lineales son continuas. Entonces, un espacio lineal que también es topológico no es en general un espacio topológico lineal.
Todo espacio lineal real o complejo de dimensión finita es un espacio topológico lineal en el sentido de que lleva una y sólo una topología que lo convierte en un espacio topológico lineal. Las dos estructuras, "espacio lineal complejo o real de dimensión finita" y "espacio topológico lineal de dimensión finita", son, por tanto, equivalentes, es decir, mutuamente subyacentes. En consecuencia, cada transformación lineal invertible de un espacio topológico lineal de dimensión finita es un homeomorfismo. Las tres nociones de dimensión (una algebraica y dos topológicas) concuerdan para espacios lineales reales de dimensión finita. Sin embargo, en espacios de dimensión infinita, diferentes topologías pueden ajustarse a una estructura lineal dada, y las transformaciones lineales invertibles generalmente no son homeomorfismos.
Es conveniente introducir espacios afines y proyectivos mediante espacios lineales, como sigue. Un subespacio lineal de n dimensiones de un espacio lineal de dimensiones ( n +1) , siendo en sí mismo un espacio lineal de dimensiones n , no es homogéneo; contiene un punto especial, el origen. Al cambiarlo por un vector externo a él, se obtiene un subespacio afín de n dimensiones . Es homogéneo. No es necesario incluir un espacio afín en un espacio lineal, pero es isomorfo a un subespacio afín de un espacio lineal. Todos los espacios afines de n dimensiones sobre un campo dado son mutuamente isomorfos. En palabras de John Baez , "un espacio afín es un espacio vectorial que ha olvidado su origen". En particular, todo espacio lineal es también un espacio afín.
Dado un subespacio afín A de n dimensiones en un espacio lineal de dimensiones ( n +1) L , una línea recta en A puede definirse como la intersección de A con un subespacio lineal bidimensional de L que intersecta A : en otras palabras , con un plano que pasa por el origen que no es paralelo a A . De manera más general, un subespacio afín k -dimensional de A es la intersección de A con un subespacio lineal ( k +1)-dimensional de L que interseca A.
Cada punto del subespacio afín A es la intersección de A con un subespacio lineal unidimensional de L . Sin embargo, algunos subespacios unidimensionales de L son paralelos a A ; en algún sentido, cortan a A en el infinito. El conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio lineal ( n +1)-dimensional es, por definición, un espacio proyectivo n -dimensional . Y el subespacio afín A está incrustado en el espacio proyectivo como un subconjunto propio. Sin embargo, el espacio proyectivo en sí es homogéneo. Una línea recta en el espacio proyectivo corresponde a un subespacio lineal bidimensional del espacio lineal ( n +1)-dimensional. De manera más general, un subespacio proyectivo k -dimensional del espacio proyectivo corresponde a un subespacio lineal ( k +1)-dimensional del espacio lineal ( n +1)-dimensional, y es isomorfo al espacio proyectivo k -dimensional .
Definidos así, los espacios afines y proyectivos son de naturaleza algebraica; pueden ser reales, complejos y, en términos más generales, abarcar cualquier campo.
Todo espacio afín o proyectivo real o complejo es también un espacio topológico. Un espacio afín es una variedad no compacta; un espacio proyectivo es una variedad compacta. En un espacio proyectivo real, una línea recta es homeomorfa a un círculo, por lo tanto compacta, en contraste con una línea recta en un espacio lineal afín.
Las distancias entre puntos se definen en un espacio métrico . Los isomorfismos entre espacios métricos se llaman isometrías. Todo espacio métrico es también un espacio topológico. Un espacio topológico se llama metrizable si subyace a un espacio métrico. Todos los colectores son metrizables.
En un espacio métrico, podemos definir conjuntos acotados y secuencias de Cauchy. Un espacio métrico se dice completo si todas las secuencias de Cauchy convergen. Todo espacio incompleto está isométricamente incrustado, como un subconjunto denso, en un espacio completo (la compleción). Todo espacio métrico compacto está completo; la línea real no es compacta pero sí completa; el intervalo abierto (0,1) está incompleto.
Todo espacio euclidiano es también un espacio métrico completo. Además, todas las nociones geométricas inmanentes a un espacio euclidiano pueden caracterizarse en términos de su métrica. Por ejemplo, el segmento recto que conecta dos puntos dados A y C consta de todos los puntos B tales que la distancia entre A y C es igual a la suma de dos distancias, entre A y B y entre B y C.
La dimensión de Hausdorff (relacionada con el número de bolitas que cubren el conjunto dado) se aplica a espacios métricos y puede ser no entera (especialmente para fractales ). Para un espacio euclidiano de n dimensiones , la dimensión de Hausdorff es igual a n .
Los espacios uniformes no introducen distancias, pero aún permiten usar continuidad uniforme, secuencias de Cauchy (o filtros o redes ), completitud y terminación. Todo espacio uniforme es también un espacio topológico. Todo espacio topológico lineal (metrizable o no) es también un espacio uniforme y está completo en una dimensión finita pero generalmente incompleto en una dimensión infinita. De manera más general, todo grupo topológico conmutativo es también un espacio uniforme. Sin embargo, un grupo topológico no conmutativo tiene dos estructuras uniformes, una invariante a la izquierda y la otra invariante a la derecha.
Los vectores en un espacio euclidiano forman un espacio lineal, pero cada vector también tiene una longitud, en otras palabras, norma . Un espacio lineal real o complejo dotado de una norma es un espacio normado . Todo espacio normado es a la vez un espacio topológico lineal y un espacio métrico. Un espacio de Banach es un espacio normado completo. Muchos espacios de secuencias o funciones son espacios de Banach de dimensión infinita.
El conjunto de todos los vectores de norma menor que uno se llama bola unitaria de un espacio normado. Es un conjunto convexo, centralmente simétrico, generalmente no un elipsoide; por ejemplo, puede ser un polígono (en el plano) o, más generalmente, un politopo (en una dimensión finita arbitraria). La ley del paralelogramo (llamada también identidad del paralelogramo)
generalmente falla en espacios normados, pero es válido para vectores en espacios euclidianos, lo que se desprende del hecho de que la norma euclidiana al cuadrado de un vector es su producto interno consigo mismo .
Un espacio producto interior es un espacio lineal real o complejo, dotado de una forma bilineal o respectivamente sesquilineal, que satisface algunas condiciones y se denomina producto interior. Cada espacio interior del producto es también un espacio normado. Un espacio normado subyace a un espacio producto interno si y sólo si satisface la ley del paralelogramo, o de manera equivalente, si su bola unitaria es un elipsoide. Los ángulos entre vectores se definen en espacios de producto internos. Un espacio de Hilbert se define como un espacio de producto interior completo. (Algunos autores insisten en que debe ser complejo, otros admiten también espacios de Hilbert reales). Muchos espacios de secuencias o funciones son espacios de Hilbert de dimensión infinita. Los espacios de Hilbert son muy importantes para la teoría cuántica . [11]
Todos los espacios de productos internos reales de n dimensiones son mutuamente isomórficos. Se puede decir que el espacio euclidiano de n dimensiones es el espacio del producto interno real de n dimensiones que olvidó su origen.
Las variedades suaves no se llaman "espacios", pero podrían serlo. Cada variedad suave es una variedad topológica y puede incrustarse en un espacio lineal de dimensión finita. Las superficies lisas en un espacio lineal de dimensión finita son variedades suaves: por ejemplo, la superficie de un elipsoide es una variedad suave, un politopo no lo es. Los espacios lineales, afines y proyectivos de dimensión finita reales o complejos también son variedades suaves.
En cada uno de sus puntos, una trayectoria suave en una variedad suave tiene un vector tangente que pertenece al espacio tangente de la variedad en ese punto. Los espacios tangentes a una variedad suave de n dimensiones son espacios lineales de n dimensiones . El diferencial de una función suave en una variedad suave proporciona una funcional lineal en el espacio tangente en cada punto.
Una variedad de Riemann , o espacio de Riemann, es una variedad suave cuyos espacios tangentes están dotados de productos internos que satisfacen algunas condiciones. Los espacios euclidianos también son espacios de Riemann. Las superficies lisas en espacios euclidianos son espacios de Riemann. Un espacio hiperbólico no euclidiano también es un espacio de Riemann. Una curva en un espacio de Riemann tiene una longitud, y la longitud de la curva más corta entre dos puntos define una distancia, de modo que el espacio de Riemann es un espacio métrico. El ángulo entre dos curvas que se cruzan en un punto es el ángulo entre sus rectas tangentes.
Renunciando a la positividad de los productos internos en espacios tangentes, se obtienen espacios pseudo-Riemann , incluidos los espacios de Lorentz que son muy importantes para la relatividad general .
Renunciando a distancias y ángulos y reteniendo volúmenes (de cuerpos geométricos) se llega a la teoría de la medida . Además del volumen, una medida generaliza las nociones de área, longitud, distribución de masa (o carga) y también distribución de probabilidad, según el enfoque de Andrey Kolmogorov sobre la teoría de la probabilidad .
Un "cuerpo geométrico" de las matemáticas clásicas es mucho más regular que un simple conjunto de puntos. El límite del cuerpo es de volumen cero. Así, el volumen del cuerpo es el volumen de su interior, y el interior puede ser agotado por una secuencia infinita de cubos. Por el contrario, el límite de un conjunto arbitrario de puntos puede tener un volumen distinto de cero (un ejemplo: el conjunto de todos los puntos racionales dentro de un cubo dado). La teoría de la medida logró extender la noción de volumen a una amplia clase de conjuntos, los llamados conjuntos mensurables . De hecho, los conjuntos no mensurables casi nunca aparecen en las aplicaciones.
Los conjuntos mensurables, dados en un espacio mensurable por definición, conducen a funciones y mapas mensurables. Para convertir un espacio topológico en un espacio mensurable se le dota de un σ-álgebra. El σ-álgebra de conjuntos de Borel es la opción más popular, pero no la única. ( A veces también se utilizan conjuntos de Baire , conjuntos universalmente medibles , etc.). La topología no está determinada únicamente por el σ-álgebra de Borel; por ejemplo, la topología normal y la topología débil en un espacio de Hilbert separable conducen a la misma σ-álgebra de Borel . No toda σ-álgebra es la σ-álgebra de Borel de alguna topología. [c] En realidad, un σ-álgebra puede ser generado por una colección dada de conjuntos (o funciones) independientemente de cualquier topología. Cada subconjunto de un espacio mensurable es en sí mismo un espacio mensurable.
Los espacios estándar medibles (también llamados espacios estándar de Borel ) son especialmente útiles debido a cierta similitud con los espacios compactos (ver EoM). Cada mapeo biyectivo mensurable entre espacios mensurables estándar es un isomorfismo; es decir, el mapeo inverso también es mensurable. Y un mapeo entre dichos espacios es mensurable si y sólo si su gráfico es mensurable en el espacio del producto. De manera similar, todo mapeo biyectivo continuo entre espacios métricos compactos es un homeomorfismo; es decir, el mapeo inverso también es continuo. Y una aplicación entre tales espacios es continua si y sólo si su gráfica está cerrada en el espacio del producto.
Cada conjunto de Borel en un espacio euclidiano (y más generalmente, en un espacio métrico separable completo), dotado del álgebra σ de Borel, es un espacio mensurable estándar. Todos los espacios mensurables estándar incontables son mutuamente isomórficos.
Un espacio de medida es un espacio mensurable dotado de una medida. Un espacio euclidiano con la medida de Lebesgue es un espacio de medida. La teoría de la integración define la integrabilidad y las integrales de funciones medibles en un espacio de medida.
Los conjuntos de medida 0, llamados conjuntos nulos, son insignificantes. En consecuencia, un "isomorfismo mod 0" se define como isomorfismo entre subconjuntos de medida completa (es decir, con complemento insignificante).
Un espacio de probabilidad es un espacio de medidas tal que la medida de todo el espacio es igual a 1. El producto de cualquier familia (finita o no) de espacios de probabilidad es un espacio de probabilidad. Por el contrario, para espacios de medida en general, sólo se define el producto de un número finito de espacios. En consecuencia, existen muchas medidas de probabilidad de dimensión infinita (especialmente, medidas gaussianas ), pero ninguna medida de Lebesgue de dimensión infinita.
Los espacios de probabilidad estándar son especialmente útiles . En un espacio de probabilidad estándar, una expectativa condicional puede tratarse como la integral sobre la medida condicional ( probabilidades condicionales regulares , ver también desintegración de la medida ). Dados dos espacios de probabilidad estándar, cada homomorfismo de sus álgebras de medidas es inducido por alguna medida que preserva el mapa. Cada medida de probabilidad en un espacio mensurable estándar conduce a un espacio de probabilidad estándar. El producto de una secuencia (finita o no) de espacios de probabilidad estándar es un espacio de probabilidad estándar. Todos los espacios de probabilidad estándar no atómicos son mutuamente isomorfos mod 0; uno de ellos es el intervalo (0,1) con la medida de Lebesgue.
Estos espacios son menos geométricos. En particular, la idea de dimensión, aplicable (de una forma u otra) a todos los demás espacios, no se aplica a los espacios mensurables, de medida y de probabilidad.
El estudio teórico del cálculo, conocido como análisis matemático , llevó a principios del siglo XX a la consideración de espacios lineales de funciones de valores reales o de valores complejos. Los primeros ejemplos de estos fueron los espacios funcionales , cada uno adaptado a su propia clase de problemas. Estos ejemplos compartían muchas características comunes, y estas características pronto se resumieron en espacios de Hilbert, espacios de Banach y espacios vectoriales topológicos más generales. Se trataba de un poderoso conjunto de herramientas para la solución de una amplia gama de problemas matemáticos.
La información más detallada la llevaba una clase de espacios llamados álgebras de Banach . Estos son espacios de Banach junto con una operación de multiplicación continua. Un ejemplo temprano importante fue el álgebra de Banach de funciones mensurables esencialmente acotadas en un espacio de medida X. Este conjunto de funciones es un espacio de Banach bajo suma puntual y multiplicación escalar. Con la operación de multiplicación puntual, se convierte en un tipo especial de espacio de Banach, ahora llamado álgebra conmutativa de von Neumann . La multiplicación puntual determina una representación de esta álgebra en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en X. Una observación temprana de John von Neumann fue que esta correspondencia también funcionaba a la inversa: dadas algunas hipótesis técnicas leves, un álgebra conmutativa de von Neumann junto con una representación en un espacio de Hilbert determina un espacio de medidas, y estas dos construcciones (de un álgebra de von Neumann más una representación y de un espacio de medida) son mutuamente inversas.
Von Neumann luego propuso que las álgebras de von Neumann no conmutativas deberían tener significado geométrico, tal como lo tienen las álgebras de von Neumann conmutativas. Junto con Francis Murray , produjo una clasificación de las álgebras de von Neumann. La construcción integral directa muestra cómo dividir cualquier álgebra de von Neumann en una colección de álgebras más simples llamadas factores . Von Neumann y Murray clasificaron los factores en tres tipos. El tipo I era casi idéntico al caso conmutativo. Los tipos II y III exhibieron nuevos fenómenos. Un álgebra de von Neumann tipo II determinó una geometría con la característica peculiar de que la dimensión podía ser cualquier número real no negativo, no sólo un número entero. Las álgebras de tipo III eran aquellas que no eran ni de tipo I ni de II, y después de varias décadas de esfuerzo, se demostró que estaban estrechamente relacionadas con los factores de tipo II.
Un enfoque ligeramente diferente de la geometría de los espacios funcionales se desarrolló al mismo tiempo que el trabajo de von Neumann y Murray sobre la clasificación de factores. Este enfoque es la teoría de las álgebras C* . Aquí, el ejemplo motivador es el álgebra C* , donde X es un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto. Por definición, esta es el álgebra de funciones continuas de valores complejos en X que desaparecen en el infinito (lo que en términos generales significa que cuanto más te alejas de un punto elegido, más se acerca la función a cero) con las operaciones de suma y multiplicación puntuales. El teorema de Gelfand-Naimark implicaba que existe una correspondencia entre las álgebras C* conmutativas y los objetos geométricos: cada álgebra C* conmutativa tiene la forma de algún espacio de Hausdorff X localmente compacto . En consecuencia, es posible estudiar espacios de Hausdorff localmente compactos puramente en términos de álgebras C* conmutativas. La geometría no conmutativa toma esto como inspiración para el estudio de las álgebras C* no conmutativas: si existiera un "espacio no conmutativo X ", entonces sería un álgebra C* no conmutativa ; si además se aplicara el teorema de Gelfand-Naimark a estos objetos inexistentes, entonces los espacios (conmutativos o no) serían lo mismo que las álgebras C*; entonces, a falta de un enfoque directo para la definición de un espacio no conmutativo, un espacio no conmutativo se define como un álgebra C* no conmutativa. Muchas herramientas geométricas estándar se pueden reformular en términos de álgebras C*, y esto proporciona técnicas de inspiración geométrica para estudiar álgebras C* no conmutativas .
Ambos ejemplos son ahora casos de un campo llamado geometría no conmutativa . Los ejemplos específicos de álgebras de von Neumann y álgebras C* se conocen como teoría de la medida no conmutativa y topología no conmutativa, respectivamente. La geometría no conmutativa no es simplemente una búsqueda de la generalidad por sí misma y no es sólo una curiosidad. Los espacios no conmutativos surgen de forma natural, incluso inevitable, a partir de algunas construcciones. Por ejemplo, consideremos las teselaciones no periódicas de Penrose del avión mediante cometas y dardos. Es un teorema que, en tal mosaico, cada parche finito de cometas y dardos aparece con una frecuencia infinita. Como consecuencia, no hay manera de distinguir dos mosaicos de Penrose mirando una porción finita. Esto hace imposible asignar al conjunto de todos los mosaicos una topología en el sentido tradicional. A pesar de esto, los mosaicos de Penrose determinan un álgebra C* no conmutativa y, en consecuencia, pueden estudiarse mediante técnicas de geometría no conmutativa. Otro ejemplo, y de gran interés dentro de la geometría diferencial , proviene de las foliaciones de variedades. Estas son formas de dividir la variedad en subvariedades de dimensiones más pequeñas llamadas hojas , cada una de las cuales es localmente paralela a otras cercanas. El conjunto de todas las hojas se puede convertir en un espacio topológico. Sin embargo, el ejemplo de una rotación irracional muestra que este espacio topológico puede ser inaccesible a las técnicas de la teoría de la medida clásica. Sin embargo, existe un álgebra de von Neumann no conmutativa asociada al espacio foliar de una foliación y, una vez más, esto le da a un espacio que de otro modo sería ininteligible una buena estructura geométrica.
La geometría algebraica estudia las propiedades geométricas de las ecuaciones polinómicas . Los polinomios son un tipo de función definida a partir de las operaciones aritméticas básicas de suma y multiplicación. Por esto, están estrechamente ligados al álgebra. La geometría algebraica ofrece una forma de aplicar técnicas geométricas a cuestiones de álgebra pura y viceversa.
Antes de la década de 1940, la geometría algebraica trabajaba exclusivamente con números complejos, y la variedad más fundamental era el espacio proyectivo. La geometría del espacio proyectivo está estrechamente relacionada con la teoría de la perspectiva , y su álgebra se describe mediante polinomios homogéneos . Todas las demás variedades se definieron como subconjuntos del espacio proyectivo. Las variedades proyectivas eran subconjuntos definidos por un conjunto de polinomios homogéneos. En cada punto de la variedad proyectiva, todos los polinomios del conjunto debían ser iguales a cero. El complemento del conjunto cero de un polinomio lineal es un espacio afín, y una variedad afín era la intersección de una variedad proyectiva con un espacio afín.
André Weil vio que el razonamiento geométrico a veces podía aplicarse en situaciones de teoría de números donde los espacios en cuestión podían ser discretos o incluso finitos. En pos de esta idea, Weil reescribió los fundamentos de la geometría algebraica, liberándola de su dependencia de números complejos e introduciendo variedades algebraicas abstractas que no estaban incrustadas en el espacio proyectivo. Ahora se les llama simplemente variedades .
El tipo de espacio que subyace a la mayor parte de la geometría algebraica moderna es incluso más general que las variedades algebraicas abstractas de Weil. Fue introducido por Alexander Grothendieck y se llama esquema . Una de las motivaciones de la teoría de esquemas es que los polinomios están inusualmente estructurados entre funciones y, en consecuencia, las variedades algebraicas son rígidas. Esto presenta problemas cuando se intenta estudiar situaciones degeneradas. Por ejemplo, casi cualquier par de puntos en un círculo determina una línea única llamada línea secante y, a medida que los dos puntos se mueven alrededor del círculo, la línea secante varía continuamente. Sin embargo, cuando los dos puntos chocan, la recta secante degenera en una recta tangente. La línea tangente es única, pero la geometría de esta configuración (un solo punto en un círculo) no es lo suficientemente expresiva como para determinar una línea única. Estudiar situaciones como ésta requiere una teoría capaz de asignar datos adicionales a situaciones degeneradas.
Uno de los componentes básicos de un esquema es un espacio topológico. Los espacios topológicos tienen funciones continuas, pero las funciones continuas son demasiado generales para reflejar la estructura algebraica subyacente de interés. El otro ingrediente de un esquema, por tanto, es un haz en el espacio topológico, llamado "haz de estructura". En cada subconjunto abierto del espacio topológico, el haz especifica una colección de funciones, llamadas "funciones regulares". Se requiere que el espacio topológico y el conjunto de estructuras satisfagan condiciones que significan que las funciones provienen de operaciones algebraicas.
Al igual que las variedades, los esquemas se definen como espacios que se modelan localmente a partir de un espacio familiar. En el caso de variedades, el espacio familiar es el espacio euclidiano. Para un esquema, los modelos locales se denominan esquemas afines . Los esquemas afines proporcionan un vínculo directo entre la geometría algebraica y el álgebra conmutativa . Los objetos fundamentales de estudio en álgebra conmutativa son los anillos conmutativos . Si es un anillo conmutativo, entonces existe un esquema afín correspondiente que traduce la estructura algebraica de en geometría. Por el contrario, cada esquema afín determina un anillo conmutativo, es decir, el anillo de secciones globales de su estructura. Estas dos operaciones son mutuamente inversas, por lo que los esquemas afines proporcionan un nuevo lenguaje con el que estudiar cuestiones de álgebra conmutativa. Por definición, cada punto de un esquema tiene una vecindad abierta que es un esquema afín.
Hay muchos esquemas que no son afines. En particular, los espacios proyectivos satisfacen una condición llamada propiedad que es análoga a la compacidad. Los esquemas afines no pueden ser adecuados (excepto en situaciones triviales como cuando el esquema tiene un solo punto) y, por lo tanto, ningún espacio proyectivo es un esquema afín (excepto los espacios proyectivos de dimensión cero). Los esquemas proyectivos, es decir, aquellos que surgen como subesquemas cerrados de un espacio proyectivo, son la familia de esquemas más importante. [12]
Se han introducido varias generalizaciones de esquemas. Michael Artin definió un espacio algebraico como el cociente de un esquema por las relaciones de equivalencia que definen los morfismos étale . Los espacios algebraicos conservan muchas de las propiedades útiles de los esquemas y al mismo tiempo son más flexibles. Por ejemplo, el teorema de Keel-Mori se puede utilizar para demostrar que muchos espacios de módulos son espacios algebraicos.
Más general que un espacio algebraico es una pila de Deligne-Mumford . Las pilas de DM son similares a los esquemas, pero permiten singularidades que no pueden describirse únicamente en términos de polinomios. Desempeñan el mismo papel para los esquemas que los orbifolds para las variedades . Por ejemplo, el cociente del plano afín por un grupo finito de rotaciones alrededor del origen produce una pila de Deligne-Mumford que no es un esquema ni un espacio algebraico. Lejos del origen, el cociente de la acción grupal identifica conjuntos finitos de puntos equiespaciados en un círculo. Pero en el origen, el círculo consta de un solo punto, el origen mismo, y la acción grupal fija este punto. Sin embargo, en la pila de cocientes DM, este punto viene con el dato adicional de ser un cociente. Este tipo de estructura refinada es útil en la teoría de espacios de módulos y, de hecho, se introdujo originalmente para describir módulos de curvas algebraicas .
Una generalización adicional son las pilas algebraicas , también llamadas pilas de Artin. Las pilas de DM están limitadas a cocientes mediante acciones de grupos finitos. Si bien esto es suficiente para muchos problemas de la teoría de módulos, es demasiado restrictivo para otros, y las pilas de Artin permiten cocientes más generales.
En el trabajo de Grothendieck sobre las conjeturas de Weil , introdujo un nuevo tipo de topología ahora llamada topología de Grothendieck . Un espacio topológico (en el sentido ordinario) axiomatiza la noción de "cercanía", haciendo que dos puntos sean cercanos si y sólo si se encuentran en muchos de los mismos conjuntos abiertos. Por el contrario, una topología de Grothendieck axioma la noción de "cobertura". Una cobertura de un espacio es una colección de subespacios que contienen en conjunto toda la información del espacio ambiental. Dado que las gavillas se definen en términos de coberturas, una topología de Grothendieck también puede verse como una axiomatización de la teoría de las gavillas.
El trabajo de Grothendieck sobre sus topologías lo llevó a la teoría de los topoi . En sus memorias Récoltes et Semailles , los llamó su "concepción más amplia". [13] Una gavilla (ya sea en un espacio topológico o con respecto a una topología de Grothendieck) se utiliza para expresar datos locales. La categoría de todas las gavillas incluye todas las formas posibles de expresar datos locales. Dado que los espacios topológicos se construyen a partir de puntos, que son en sí mismos una especie de datos locales, la categoría de haces puede utilizarse como reemplazo del espacio original. En consecuencia, Grothendieck definió un topos como una categoría de haces y estudió los topoi como objetos de interés por derecho propio. Estos ahora se llaman topoi de Grothendieck .
Todo espacio topológico determina un topos y viceversa. Hay espacios topológicos donde al tomar los topos asociados se pierde información, pero generalmente se consideran patológicos. (Una condición necesaria y suficiente es que el espacio topológico sea un espacio sobrio .) A la inversa, hay topoi cuyos espacios topológicos asociados no capturan los topos originales. Pero, lejos de ser patológicos, estos topoi pueden ser de gran interés matemático. Por ejemplo, la teoría de la cohomología étale de Grothendieck (que finalmente condujo a la prueba de las conjeturas de Weil) puede expresarse como cohomología en el topos étale de un esquema, y este topos no proviene de un espacio topológico.
De hecho, los espacios topológicos conducen a topoi muy especiales llamados locales . El conjunto de subconjuntos abiertos de un espacio topológico determina una red . Los axiomas para un espacio topológico hacen que estas redes sean álgebras de Heyting completas . La teoría de las localidades toma esto como punto de partida. Un lugar se define como un álgebra de Heyting completa, y las propiedades elementales de los espacios topológicos se reexpresan y reprueban en estos términos. El concepto de lugar resulta ser más general que el de espacio topológico, en el sentido de que cada espacio topológico sobrio determina un lugar único, pero muchos lugares interesantes no provienen de espacios topológicos. Debido a que las configuraciones regionales no necesitan tener puntos, el estudio de las configuraciones regionales se denomina, en cierta forma en broma, topología sin sentido .
Los topoi también muestran profundas conexiones con la lógica matemática. Cada topos de Grothendieck tiene un haz especial llamado clasificador de subobjetos. Este clasificador de subobjetos funciona como el conjunto de todos los valores de verdad posibles. En el topos de conjuntos, el clasificador de subobjetos es el conjunto , correspondiente a "Falso" y "Verdadero". Pero en otros topoi, el clasificador de subobjetos puede ser mucho más complicado. Lawvere y Tierney reconocieron que la axiomatización del clasificador de subobjetos producía un tipo más general de topos, ahora conocido como topos elemental , y que los topoi elementales eran modelos de lógica intuicionista . Además de proporcionar una forma poderosa de aplicar herramientas desde la lógica a la geometría, esto hizo posible el uso de métodos geométricos en lógica.
Según Kevin Carlson,
Sin embargo, Bourbaki propuso una definición general de "estructura"; [2] abarca todos los tipos de espacios mencionados anteriormente, (¿casi?) todos los tipos de estructuras matemáticas utilizadas hasta ahora, y más. Proporciona una definición general de isomorfismo y justifica la transferencia de propiedades entre estructuras isomorfas. Sin embargo, nunca se utilizó activamente en la práctica matemática (ni siquiera en los tratados matemáticos escritos por el propio Bourbaki). He aquí las últimas frases de una reseña de Robert Reed [14] de un libro de Leo Corry:
Para obtener más información sobre estructuras matemáticas, consulte Wikipedia: estructura matemática , definiciones equivalentes de estructuras matemáticas y transporte de estructura .
La distinción entre "espacios" geométricos y "estructuras" algebraicas es a veces clara, a veces difícil de alcanzar. Claramente, los grupos son algebraicos, mientras que los espacios euclidianos son geométricos. Los módulos sobre anillos son tan algebraicos como los grupos. En particular, cuando el anillo parece ser un campo , el módulo parece ser un espacio lineal ; ¿Es algebraico o geométrico? En particular, cuando es de dimensión finita, sobre números reales y está dotado de producto interno , se convierte en espacio euclidiano ; ahora geométrico. El campo (¿algebraico?) de los números reales es el mismo que la recta real (¿geométrica?) . Su cierre algebraico , el campo (¿algebraico?) de los números complejos , es lo mismo que el plano complejo (¿geométrico?) . Es ante todo "un lugar donde hacemos análisis " (en lugar de álgebra o geometría).
Todo espacio tratado en la sección "Tipos de espacios" anterior, excepto las subsecciones "Geometría no conmutativa", "Esquemas" y "Topoi", es un conjunto (el "conjunto base principal" de la estructura, según Bourbaki) dotado de alguna estructura adicional; Los elementos del conjunto base suelen denominarse "puntos" de este espacio. Por el contrario, los elementos de (el conjunto base de) una estructura algebraica normalmente no se denominan "puntos".
Sin embargo, a veces se utiliza más de un conjunto base principal. Por ejemplo, la geometría proyectiva bidimensional puede formalizarse mediante dos conjuntos básicos , el conjunto de puntos y el conjunto de líneas. Además, una característica sorprendente de los planos proyectivos es la simetría de las funciones que desempeñan los puntos y las líneas . Un ejemplo menos geométrico: un gráfico se puede formalizar mediante dos conjuntos de bases , el conjunto de vértices (también llamados nodos o puntos) y el conjunto de aristas (también llamados arcos o líneas). Generalmente, Bourbaki estipula un número finito de conjuntos de bases principales y un número finito de conjuntos de bases auxiliares .
Muchas estructuras matemáticas de tipo geométrico tratadas en las subsecciones anteriores "Geometría no conmutativa", "Esquemas" y "Topoi" no estipulan un conjunto base de puntos. Por ejemplo, la " topología sin sentido " (en otras palabras, topología sin puntos o teoría local) comienza con un conjunto base único cuyos elementos imitan conjuntos abiertos en un espacio topológico (pero no son conjuntos de puntos); véase también mereotopología y geometría sin puntos .
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