En matemáticas , el espacio de Sierpiński es un espacio topológico finito con dos puntos, de los cuales sólo uno es cerrado . [1]
Es el ejemplo más pequeño de un espacio topológico que no es ni trivial ni discreto . Lleva el nombre de Wacław Sierpiński .
El espacio de Sierpiński tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica , [2] [3] porque es el espacio de clasificación para conjuntos abiertos en la topología de Scott .
Definición y propiedades fundamentales.
Explícitamente, el espacio de Sierpiński es un espacio topológico S cuyo conjunto de puntos subyacente es y cuyos conjuntos abiertos son
conjuntos cerrados conjunto singletonconjunto vacíoEl operador de cierre en S está determinado por
Un espacio topológico finito también está determinado únicamente por su preorden de especialización . Para el espacio de Sierpiński, este pedido anticipado es en realidad un pedido parcial y está dado por
Propiedades topológicas
El espacio de Sierpiński es un caso especial tanto de la topología de puntos finitos particulares (con el punto 1 particular) como de la topología de puntos finitos excluidos (con el punto 0 excluido). Por tanto, tiene muchas propiedades en común con una o ambas familias.
Separación
Conectividad
Compacidad
- Como todos los espacios topológicos finitos, el espacio de Sierpiński es compacto y contable en segundos .
- El subconjunto compacto de S no es cerrado, lo que demuestra que los subconjuntos compactos de T 0 espacios no necesitan ser cerrados.
- Cada cubierta abierta de S debe contener al propio S , ya que S es la única vecindad abierta de 0. Por lo tanto, cada cubierta abierta de S tiene una subcubierta abierta que consta de un único conjunto:
- De ello se deduce que S es completamente normal . [4]
Convergencia
- Toda secuencia en S converge al punto 0. Esto se debe a que la única vecindad de 0 es el propio S.
- Una secuencia en S converge a 1 si y sólo si la secuencia contiene sólo un número finito de términos iguales a 0 (es decir, la secuencia eventualmente es sólo unos).
- El punto 1 es un punto de grupo de una secuencia en S si y sólo si la secuencia contiene infinitos unos.
- Ejemplos :
- 1 no es un punto de agrupación de
- 1 es un punto de grupo (pero no un límite) de
- La secuencia converge tanto a 0 como a 1.
Metrizabilidad
Otras propiedades
Funciones continuas al espacio Sierpiński.
Sea X un conjunto arbitrario. Generalmente se denota el conjunto de todas las funciones desde X hasta el conjunto. Estas funciones son precisamente las funciones características de X. Cada una de estas funciones es de la forma
UsubconjuntoXbiyectivapotenciaX.UXXAhora supongamos que X es un espacio topológico y tengamos la topología de Sierpiński. Entonces una función es continua si y sólo si está abierta en X. Pero, por definición
esX.XSXUn ejemplo particularmente notable de esto es la topología de Scott para conjuntos parcialmente ordenados , en la que el espacio de Sierpiński se convierte en el espacio de clasificación para conjuntos abiertos cuando la función característica preserva las uniones dirigidas. [5]
Descripción categórica
La construcción anterior se puede describir muy bien utilizando el lenguaje de la teoría de categorías . Existe un funtor contravariante de la categoría de espacios topológicos a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio topológico su conjunto de conjuntos abiertos y a cada función continua el mapa de preimagen .
representadonaturalmente isomorfofunctor Homelemento universal.pregavilla[6]La topología inicial
Cualquier espacio topológico X tiene la topología inicial inducida por la familia de funciones continuas al espacio de Sierpiński. De hecho, para hacer más tosca la topología en X se deben eliminar los conjuntos abiertos. Pero eliminar el conjunto abierto U lo volvería discontinuo. Entonces X tiene la topología más burda para la cual cada función es continua.
La familia de funciones separa puntos en X si y sólo si X es un espacio T . Dos puntos y estarán separados por la función si y sólo si el conjunto abierto U contiene precisamente uno de los dos puntos. Esto es exactamente lo que significa ser topológicamente distinguible .
Por lo tanto, si X es T 0 , podemos incluir X como un subespacio de un producto de espacios de Sierpiński, donde hay una copia de S para cada conjunto abierto U en X . El mapa de incrustación
000homeomorfoSEn geometría algebraica
En geometría algebraica, el espacio de Sierpiński surge como el espectro de un anillo de valoración discreto como (la localización de los números enteros en el ideal primo generado por el número primo ). El punto genérico proveniente del ideal cero , corresponde al punto abierto 1, mientras que el punto especial proveniente del ideal máximo único , corresponde al punto cerrado 0.
Ver también
Notas
- ^ Espacio Sierpinski en el n Lab
- ^ Un artículo en línea que explica la motivación de por qué la noción de "topología" se puede aplicar en la investigación de conceptos de la informática. Alex Simpson: Estructuras matemáticas para la semántica (original). Capítulo III: Espacios topológicos desde una perspectiva computacional (original). La sección "Referencias" proporciona muchos materiales en línea sobre teoría de dominios .
- ^ Escardó, Martín (2004). Topología sintética de tipos de datos y espacios clásicos . Apuntes Electrónicos en Informática Teórica. vol. 87. Elsevier . pag. 2004. CiteSeerX 10.1.1.129.2886 .
- ^ Steen y Seebach enumeran incorrectamente el espacio de Sierpiński como no completamente normal (o completamente T 4 en su terminología).
- ^ Topología de Scott en el n Lab
- ^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos , (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102
Referencias