Topología de puntos particulares

En matemáticas , la topología de puntos particulares (o topología de puntos incluidos ) es una topología donde un conjunto es abierto si contiene un punto particular del espacio topológico . Formalmente, sea X cualquier conjunto no vacío y p ∈ X . La colección

${\displaystyle T=\{S\subseteq X\mid p\in S\}\cup \{\emptyset \}}$

de subconjuntos de X es la topología puntual particular en X. Hay una variedad de casos que se nombran individualmente:

• Si X tiene dos puntos, la topología de puntos particular en X es el espacio de Sierpiński .
• Si X es finito (con al menos 3 puntos), la topología en X se llama topología de puntos particulares finitos .
• Si X es infinito contable , la topología en X se llama topología de punto particular contable .
• Si X es incontable , la topología en X se llama topología de punto particular incontable .

Una generalización de la topología de punto particular es la topología de extensión cerrada . En el caso en que X \ { p } tenga la topología discreta , la topología de extensión cerrada es la misma que la topología de punto particular.

Esta topología se utiliza para proporcionar ejemplos y contraejemplos interesantes.

Propiedades

Los conjuntos cerrados tienen el interior vacío

Dado un conjunto abierto no vacío, cada uno es un punto límite de A. Por lo tanto, el cierre de cualquier conjunto abierto distinto de es . Ningún conjunto cerrado distinto de contiene p, por lo que el interior de todo conjunto cerrado distinto de es . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \emptyset }$

Propiedades de conectividad

Ruta y conectado localmente pero no arco conectado

Para cualquier x ,  y ∈ X , la función f : [0, 1] → X dada por

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}x&t=0\\p&t\in (0,1)\\y&t=1\end{cases}}}$

es un camino. Sin embargo, dado que p es abierto, la preimagen de p bajo una inyección continua desde [0,1] sería un único punto abierto de [0,1], lo cual es una contradicción.

Punto de dispersión, ejemplo de un conjunto con

p es un punto de dispersión para X. Es decir, X \ { p } está totalmente desconectado .

Hiperconectados pero no ultraconectados

Todo conjunto abierto no vacío contiene p y, por lo tanto, X es hiperconexo . Pero si a y b están en X de modo que p , a y b son tres puntos distintos, entonces { a } y { b } son conjuntos cerrados disjuntos y, por lo tanto, X no es ultraconexo . Nótese que si X es el espacio de Sierpiński, entonces no existen tales a y b y, de hecho, X es ultraconexo.

Propiedades de compacidad

Compacto sólo si es finito. Lindelöf sólo si es contable.

Si X es finito, es compacto ; y si X es infinito, no es compacto, ya que la familia de todos los conjuntos abiertos forma una cubierta abierta sin ninguna subcubierta finita. ${\displaystyle \{p,x\}\;(x\in X)}$

Por razones similares, si X es contable, es un espacio de Lindelöf ; y si X es incontable, no es Lindelöf.

Cierre de compacto no compacto

El conjunto { p } es compacto. Sin embargo, su clausura (la clausura de un conjunto compacto) es todo el espacio X y, si X es infinito, este no es compacto. Por razones similares, si X es incontable, tenemos un ejemplo en el que la clausura de un conjunto compacto no es un espacio de Lindelöf.

Pseudocompacto pero no débilmente numerable compacto

En primer lugar, no hay conjuntos abiertos no vacíos disjuntos (ya que todos los conjuntos abiertos contienen p ). Por lo tanto, toda función continua en la recta real debe ser constante y, por lo tanto, acotada, lo que demuestra que X es un espacio pseudocompacto . Cualquier conjunto que no contenga p no tiene un punto límite, por lo que si X es infinito, no es débilmente numerable y compacto .

Localmente compacto pero no localmente relativamente compacto.

Si , entonces el conjunto es un entorno compacto de x . Sin embargo, el cierre de este entorno es todo X , y por lo tanto, si X es infinito, x no tiene un entorno compacto cerrado y X no es localmente relativamente compacto . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x,p\}}$

Límite relacionado

Puntos de acumulación de conjuntos

Si no contiene p , Y no tiene punto de acumulación (porque Y está cerrado en X y es discreto en la topología del subespacio). ${\displaystyle Y\subseteq X}$

Si contiene p , cada punto es un punto de acumulación de Y , ya que (el vecindario más pequeño de ) se encuentra con Y . Y no tiene ningún punto de acumulación ω . Nótese que p nunca es un punto de acumulación de ningún conjunto, ya que está aislado en X . ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{x,p\}}$ ${\displaystyle x}$

Punto de acumulación como conjunto pero no como secuencia

Tomemos una secuencia de elementos distintos que también contiene p . El conjunto subyacente tiene a any como punto de acumulación. Sin embargo, la secuencia en sí no tiene punto de acumulación como secuencia , ya que el entorno de cualquier y no puede contener una cantidad infinita de elementos distintos . ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{y,p\}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Separación relacionada

T0_​

X es T 0 (ya que { x ,  p } está abierto para cada x ) pero no satisface ningún axioma de separación superior (porque todos los conjuntos abiertos no vacíos deben contener p ).

No es regular

Como todo conjunto abierto no vacío contiene p , ningún conjunto cerrado que no contenga p (como X \ { p }) puede separarse por vecindades de { p }, y por lo tanto X no es regular . Como la regularidad completa implica regularidad, X no es completamente regular.

No es normal

Como todo conjunto abierto no vacío contiene p , ningún conjunto cerrado no vacío puede estar separado por vecindades entre sí y, por lo tanto, X no es normal . Excepción: la topología de Sierpiński es normal, e incluso completamente normal, ya que no contiene conjuntos separados no triviales.

Otras propiedades

Posibilidad de separación

{ p } es denso y, por lo tanto , X es un espacio separable . Sin embargo, si X es incontable , entonces X \ { p } no es separable. Este es un ejemplo de un subespacio de un espacio separable que no es separable.

Responsabilidad (primera pero no segunda)

Si X es incontable, entonces X es primer contable pero no segundo contable .

Alexandrov-discreto

La topología es una topología de Alexandrov . El vecindario más pequeño de un punto es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x,p\}.}$

Comparables (Topologías homeomorfas del mismo conjunto que no son comparables)

Sea con . Sea y . Es decir, t _q es la topología de punto particular en X, siendo q el punto distinguido. Entonces ( X , t _p ) y ( X , t _q ) son topologías homeomorfas incomparables en el mismo conjunto. ${\displaystyle p,q\in X}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle t_{p}=\{S\subseteq X\mid p\in S\}}$ ${\displaystyle t_{q}=\{S\subseteq X\mid q\in S\}}$

No existe ningún subconjunto denso en sí mismo no vacío

Sea S un subconjunto no vacío de X. Si S contiene p , entonces p está aislado en S ( ya que es un punto aislado de X ). Si S no contiene p , cualquier x en S está aislado en S.

No es de primera categoría

Cualquier conjunto que contenga p es denso en X. Por lo tanto, X no es una unión de subconjuntos densos en ninguna parte .

Subespacios

Cada subespacio de un conjunto dada la topología de punto particular que no contiene el punto particular, tiene la topología discreta.

Véase también

• Topología de Alexandrov
• Topología de puntos excluidos
• Espacio topológico finito
• Lista de topologías
• Compactación de un punto
• Topología de intervalos superpuestos

Referencias

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446