En matemáticas , un espacio topológico finito es un espacio topológico cuyo conjunto de puntos subyacente es finito . Es decir, es un espacio topológico que tiene solo un número finito de elementos.
Los espacios topológicos finitos se utilizan a menudo para proporcionar ejemplos de fenómenos interesantes o contraejemplos de conjeturas que parecen plausibles. William Thurston ha calificado el estudio de las topologías finitas en este sentido como "un tema extraño que puede aportar una buena perspectiva a una variedad de cuestiones". [1]
Sea un conjunto finito. Una topología en es un subconjunto de (el conjunto potencia de ) tal que
En otras palabras, un subconjunto de es una topología si contiene tanto a como como y es cerrado bajo uniones e intersecciones arbitrarias . Los elementos de se denominan conjuntos abiertos . La descripción general de los espacios topológicos requiere que una topología sea cerrada bajo uniones arbitrarias (finitas o infinitas) de conjuntos abiertos, pero solo bajo intersecciones de un número finito de conjuntos abiertos. Aquí, esa distinción es innecesaria. Dado que el conjunto potencia de un conjunto finito es finito, solo puede haber un número finito de conjuntos abiertos (y solo un número finito de conjuntos cerrados ).
Una topología de un conjunto finito también puede considerarse como una subred que incluye tanto el elemento inferior como el elemento superior .
Existe una topología única en el conjunto vacío ∅. El único conjunto abierto es el vacío. De hecho, este es el único subconjunto de ∅.
De la misma manera, existe una topología única en un conjunto singleton { a }. Aquí los conjuntos abiertos son ∅ y { a }. Esta topología es a la vez discreta y trivial , aunque en algunos sentidos es mejor pensar en ella como un espacio discreto ya que comparte más propiedades con la familia de espacios discretos finitos.
Para cualquier espacio topológico X existe una única función continua de ∅ a X , a saber, la función vacía . También existe una única función continua de X al espacio singleton { a }, a saber, la función constante a a . En el lenguaje de la teoría de categorías, el espacio vacío sirve como un objeto inicial en la categoría de espacios topológicos, mientras que el espacio singleton sirve como un objeto terminal .
Sea X = { a , b } un conjunto con 2 elementos. Existen cuatro topologías distintas en X :
Se puede ver fácilmente que la segunda y tercera topologías anteriores son homeomorfas . La función de X a sí misma que intercambia a y b es un homeomorfismo. Un espacio topológico homeomorfo a una de estas se llama espacio de Sierpiński . Por lo tanto, de hecho, solo hay tres topologías no equivalentes en un conjunto de dos puntos: la trivial, la discreta y la topología de Sierpiński.
El preorden de especialización en el espacio de Sierpiński { a , b } con { b } abierto está dado por: a ≤ a , b ≤ b y a ≤ b .
Sea X = { a , b , c } un conjunto con 3 elementos. Existen 29 topologías distintas en X pero sólo 9 topologías no equivalentes:
Los últimos 5 de estos son todos T 0 . El primero es trivial, mientras que en 2, 3 y 4 los puntos a y b son topológicamente indistinguibles .
Sea X = { a , b , c , d } un conjunto con 4 elementos. Existen 355 topologías distintas en X pero sólo 33 topologías no equivalentes:
Los últimos 16 de estos son todos T 0 .
Las topologías en un conjunto finito X están en correspondencia uno a uno con preórdenes en X. Recordemos que un preorden en X es una relación binaria en X que es reflexiva y transitiva .
Dado un espacio topológico X (no necesariamente finito) podemos definir un preorden en X mediante
donde cl{ y } denota el cierre del conjunto singleton { y }. Este preorden se llama preorden de especialización en X . Todo conjunto abierto U de X será un conjunto superior con respecto a ≤ (es decir, si x ∈ U y x ≤ y entonces y ∈ U ). Ahora bien, si X es finito, la inversa también es cierta: todo conjunto superior es abierto en X . Por lo tanto, para espacios finitos, la topología en X está determinada de forma única por ≤.
Yendo en la otra dirección, supongamos que ( X , ≤) es un conjunto preordenado. Definamos una topología τ en X tomando los conjuntos abiertos como los conjuntos superiores con respecto a ≤. Entonces la relación ≤ será el preorden de especialización de ( X , τ). La topología definida de esta manera se denomina topología de Alexandrov determinada por ≤.
La equivalencia entre preórdenes y topologías finitas puede interpretarse como una versión del teorema de representación de Birkhoff , una equivalencia entre redes distributivas finitas (la red de conjuntos abiertos de la topología) y órdenes parciales (el orden parcial de clases de equivalencia del preorden). Esta correspondencia también funciona para una clase más grande de espacios llamados espacios finitamente generados . Los espacios finitamente generados pueden caracterizarse como los espacios en los que una intersección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta. Los espacios topológicos finitos son una clase especial de espacios finitamente generados.
Todo espacio topológico finito es compacto , ya que cualquier cubierta abierta ya debe ser finita. De hecho, los espacios compactos suelen considerarse una generalización de los espacios finitos, ya que comparten muchas de las mismas propiedades.
Todo espacio topológico finito es también contable en segundo lugar (sólo hay un número finito de conjuntos abiertos) y separable (ya que el espacio mismo es contable ).
Si un espacio topológico finito es T 1 (en particular, si es Hausdorff ) entonces debe, de hecho, ser discreto. Esto se debe a que el complemento de un punto es una unión finita de puntos cerrados y, por lo tanto, cerrado. De ello se deduce que cada punto debe ser abierto.
Por lo tanto, cualquier espacio topológico finito que no sea discreto no puede ser T 1 , Hausdorff o cualquier otra cosa más fuerte.
Sin embargo, es posible que un espacio finito no discreto sea T 0 . En general, dos puntos x e y son topológicamente indistinguibles si y solo si x ≤ y e y ≤ x , donde ≤ es el preorden de especialización en X . De ello se deduce que un espacio X es T 0 si y solo si el preorden de especialización ≤ en X es un orden parcial . Hay numerosos órdenes parciales en un conjunto finito. Cada uno define una topología T 0 única.
De manera similar, un espacio es R 0 si y solo si el preorden de especialización es una relación de equivalencia. Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto finito X , la topología asociada es la topología de partición en X. Las clases de equivalencia serán las clases de puntos topológicamente indistinguibles. Dado que la topología de partición es pseudometrizable , un espacio finito es R 0 si y solo si es completamente regular .
Los espacios finitos no discretos también pueden ser normales . La topología de puntos excluidos en cualquier conjunto finito es un espacio T 0 completamente normal que no es discreto.
La conectividad en un espacio finito X se entiende mejor considerando el preorden de especialización ≤ en X . Podemos asociar a cualquier conjunto preordenado X un grafo dirigido Γ tomando los puntos de X como vértices y dibujando una arista x → y siempre que x ≤ y . La conectividad de un espacio finito X se puede entender considerando la conectividad del grafo asociado Γ .
En cualquier espacio topológico, si x ≤ y entonces existe un camino de x a y . Se puede simplemente tomar f (0) = x y f ( t ) = y para t > 0. Es fácil verificar que f es continua. De ello se deduce que los componentes del camino de un espacio topológico finito son precisamente los componentes (débilmente) conectados del grafo asociado Γ. Es decir, existe un camino topológico de x a y si y solo si existe un camino no dirigido entre los vértices correspondientes de Γ.
Todo espacio finito está conexo por caminos localmente ya que el conjunto
es un entorno abierto de x conectado por caminos que está contenido en todos los demás entornos. En otras palabras, este único conjunto forma una base local en x .
Por lo tanto, un espacio finito es conexo si y solo si es conexo por trayectorias. Los componentes conexos son precisamente los componentes de la trayectoria. Cada uno de estos componentes es a la vez cerrado y abierto en X.
Los espacios finitos pueden tener propiedades de conectividad más fuertes. Un espacio finito X es
Por ejemplo, la topología puntual particular en un espacio finito es hiperconectada mientras que la topología puntual excluida es ultraconectada. El espacio de Sierpiński es ambas cosas.
Un espacio topológico finito es pseudometrizable si y sólo si es R 0 . En este caso, una pseudometría posible viene dada por
donde x ≡ y significa que x e y son topológicamente indistinguibles . Un espacio topológico finito es metrizable si y solo si es discreto.
De la misma manera, un espacio topológico es uniformizable si y sólo si es R 0 . La estructura uniforme será la uniformidad pseudométrica inducida por la pseudometría anterior.
Tal vez sea sorprendente que existan espacios topológicos finitos con grupos fundamentales no triviales . Un ejemplo sencillo es el pseudocírculo , que es un espacio X con cuatro puntos, dos de los cuales son abiertos y dos de los cuales son cerrados. Existe una función continua desde el círculo unitario S 1 hasta X que es una equivalencia de homotopía débil (es decir, induce un isomorfismo de los grupos de homotopía ). De ello se deduce que el grupo fundamental del pseudocírculo es cíclico infinito .
De manera más general, se ha demostrado que para cualquier complejo simplicial abstracto finito K , existe un espacio topológico finito X K y una equivalencia de homotopía débil f : | K | → X K donde | K | es la realización geométrica de K . De ello se deduce que los grupos de homotopía de | K | y X K son isomorfos. De hecho, el conjunto subyacente de X K puede tomarse como el propio K , con la topología asociada al orden parcial de inclusión.
Como se ha comentado anteriormente, las topologías de un conjunto finito se corresponden de forma biunívoca con los preórdenes del conjunto, y las topologías T 0 se corresponden de forma biunívoca con los órdenes parciales . Por tanto, la cantidad de topologías de un conjunto finito es igual a la cantidad de preórdenes y la cantidad de topologías T 0 es igual a la cantidad de órdenes parciales.
La siguiente tabla muestra la cantidad de topologías distintas (T 0 ) en un conjunto con n elementos. También muestra la cantidad de topologías no equivalentes (es decir, no homeomórficas ).
Sea T ( n ) el número de topologías distintas en un conjunto con n puntos. No se conoce ninguna fórmula sencilla para calcular T ( n ) para un valor arbitrario de n . La Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros actualmente indica T ( n ) para n ≤ 18.
El número de topologías T 0 distintas en un conjunto con n puntos, denotado T 0 ( n ), está relacionado con T ( n ) por la fórmula
donde S ( n , k ) denota el número de Stirling de segundo tipo .
