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Topología trivial

En topología , un espacio topológico con la topología trivial es aquel en el que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y el espacio entero. Dichos espacios se denominan comúnmente indiscretos , antidiscretos , concretos o codiscretos . Intuitivamente, esto tiene la consecuencia de que todos los puntos del espacio están "agrupados" y no se pueden distinguir por medios topológicos. Todo espacio indiscreto es un espacio pseudométrico en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera es cero .

Detalles

La topología trivial es la topología con el menor número posible de conjuntos abiertos , es decir, el conjunto vacío y el espacio entero, ya que la definición de una topología requiere que estos dos conjuntos sean abiertos. A pesar de su simplicidad, un espacio X con más de un elemento y la topología trivial carecen de una propiedad clave deseable: no es un espacio T 0 .

Otras propiedades de un espacio indiscreto X —muchas de las cuales son bastante inusuales— incluyen:

En cierto sentido, el opuesto de la topología trivial es la topología discreta , en la que cada subconjunto es abierto.

La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano X × X es el único entorno .

Sea Top la categoría de espacios topológicos con funciones continuas y Set la categoría de conjuntos con funciones. Si G  : TopSet es el funtor que asigna a cada espacio topológico su conjunto subyacente (el llamado funtor olvidadizo ), y H  : SetTop es el funtor que coloca la topología trivial en un conjunto dado, entonces H (el llamado funtor co-libre ) es adjunto derecho a G . (El llamado funtor libre F  : SetTop que coloca la topología discreta en un conjunto dado es adjunto izquierdo a G .) [1] [2]

Véase también

Notas

  1. ^ Keegan Smith, "Functores adjuntos en álgebra, topología y lógica matemática", 8 de agosto de 2008, pág. 13.
  2. ^ functor libre en nLab

Referencias