Objeto libre

Adjunto izquierdo a un funtor olvidadizo de conjuntos

En matemáticas , la idea de objeto libre es uno de los conceptos básicos del álgebra abstracta . Informalmente, se puede considerar que un objeto libre sobre un conjunto A es una estructura algebraica "genérica" ​​sobre A : las únicas ecuaciones que se cumplen entre elementos del objeto libre son las que se derivan de los axiomas definitorios de la estructura algebraica. Los ejemplos incluyen grupos libres , álgebras tensoriales o celosías libres .

El concepto forma parte del álgebra universal , en el sentido de que se relaciona con todo tipo de estructura algebraica (con operaciones finitas ). También tiene una formulación en términos de teoría de categorías , aunque esto es en términos aún más abstractos.

Definición

Los objetos libres son la generalización directa a categorías de la noción de base en un espacio vectorial. Una función lineal u  : E ₁ → E ₂ entre espacios vectoriales está completamente determinada por sus valores sobre la base del espacio vectorial E ₁ . La siguiente definición traduce esto a cualquier categoría.

Una categoría concreta es una categoría que está equipada con un funtor fiel a Set , la categoría de conjuntos . Sea C una categoría concreta con un funtor fiel U  : C → Conjunto . Sea X un conjunto (es decir, un objeto en Set ), que será la base del objeto libre a definir. Un objeto libre en X es un par que consta de un objeto en C y una inyección (llamada inyección canónica ), que satisface la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i:X\to U(A)}$

Para cualquier objeto B en C y cualquier aplicación entre conjuntos , existe un morfismo único en C tal que . Es decir, el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle g:X\to U(B)}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g=U(f)\circ i}$

X

Si existen objetos libres en C , la propiedad universal implica que cada aplicación entre dos conjuntos induce un morfismo único entre los objetos libres construidos sobre ellos, y esto define un funtor . De ello se deduce que, si existen objetos libres en C , el funtor F , llamado funtor libre, es un adjunto izquierdo del funtor fiel U ; es decir, hay una biyección ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).}$

Ejemplos

La creación de objetos libres se realiza en dos pasos. Para las álgebras que se ajustan a la ley asociativa , el primer paso es considerar la colección de todas las palabras posibles formadas a partir de un alfabeto . Luego se impone un conjunto de relaciones de equivalencia sobre las palabras, donde las relaciones son las relaciones definitorias del objeto algebraico en cuestión. El objeto libre consta entonces del conjunto de clases de equivalencia .

Consideremos, por ejemplo, la construcción del grupo libre en dos generadores . Se comienza con un alfabeto que consta de cinco letras . En el primer paso aún no se ha asignado ningún significado a las "letras" o ; estos se darán más adelante, en el segundo paso. Por lo tanto, también se podría comenzar con el alfabeto de cinco letras, es decir . En este ejemplo, el conjunto de todas las palabras o cadenas incluirá cadenas como aebecede y abdc , etc., de longitud finita arbitraria, con las letras dispuestas en todos los órdenes posibles. ${\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}}$ ${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$ ${\displaystyle W(S)}$

En el siguiente paso, se impone un conjunto de relaciones de equivalencia. Las relaciones de equivalencia para un grupo son la de multiplicación por la identidad, y la multiplicación de inversas: . Aplicando estas relaciones a las cadenas anteriores, se obtiene ${\displaystyle ge=eg=g}$ ${\displaystyle gg^{-1}=g^{-1}g=e}$

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}$

donde se entendió que es un sustituto de , y es un sustituto de , mientras que es el elemento de identidad. De manera similar, uno tiene ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b^{-1}}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}$

Denotando la relación de equivalencia o congruencia por , el objeto libre es entonces la colección de clases de equivalencia de palabras. Así, en este ejemplo, el grupo libre en dos generadores es el cociente ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

Esto a menudo se escribe como donde está el conjunto de todas las palabras y es la clase de equivalencia de la identidad, después de que se imponen las relaciones que definen un grupo. ${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$ ${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$

Un ejemplo más sencillo son los monoides libres . El monoide libre en un conjunto X , es el monoide de todas las cadenas finitas que utilizan X como alfabeto, con operación de concatenación de cadenas. La identidad es la cadena vacía. En esencia, el monoide libre es simplemente el conjunto de todas las palabras, sin relaciones de equivalencia impuestas. Este ejemplo se desarrolla con más detalle en el artículo sobre la estrella Kleene .

Caso general

En el caso general, las relaciones algebraicas no necesitan ser asociativas, en cuyo caso el punto de partida no es el conjunto de todas las palabras, sino cadenas puntuadas con paréntesis, que se utilizan para indicar las agrupaciones de letras no asociativas. Una cadena de este tipo puede representarse de manera equivalente mediante un árbol binario o un magma libre ; las hojas del árbol son las letras del alfabeto.

Las relaciones algebraicas pueden ser entonces aridades generales o relaciones finitas sobre las hojas del árbol. En lugar de comenzar con la colección de todas las posibles cadenas entre paréntesis, puede resultar más conveniente comenzar con el universo Herbrand . Describir o enumerar adecuadamente el contenido de un objeto libre puede resultar fácil o difícil, dependiendo del objeto algebraico particular en cuestión. Por ejemplo, el grupo libre en dos generadores se describe fácilmente. Por el contrario, se sabe poco o nada sobre la estructura de las álgebras de Heyting libres en más de un generador. ^[1] El problema de determinar si dos cadenas diferentes pertenecen a la misma clase de equivalencia se conoce como problema verbal .

Como sugieren los ejemplos, los objetos libres parecen construcciones de sintaxis ; uno puede revertir esto hasta cierto punto diciendo que los usos principales de la sintaxis pueden explicarse y caracterizarse como objetos libres, de una manera que haga explicable (y más memorable) una "puntuación" aparentemente pesada. ^{[ se necesita aclaración ]}

Álgebras universales libres

Sea cualquier conjunto y sea una estructura algebraica de tipo generada por . Sea el conjunto subyacente de esta estructura algebraica , a veces llamado su universo, y sea una función. Decimos que (o informalmente simplemente ) es un álgebra libre (de tipo ) en el conjunto de generadores libres si, para cada álgebra de tipo y cada función , donde hay un universo de , existe un homomorfismo único tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi \colon S\to A}$ ${\displaystyle (A,\psi )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau \colon S\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \sigma \colon A\to B}$ ${\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau .}$

funtor libre

La configuración más general para un objeto libre está en la teoría de categorías , donde se define un funtor , el functor libre , que es el adjunto izquierdo del funtor olvidadizo .

Consideremos una categoría C de estructuras algebraicas ; Los objetos pueden considerarse como conjuntos más operaciones que obedecen a algunas leyes. Esta categoría tiene un funtor, el funtor olvidadizo , que asigna objetos y funciones en C a Set , la categoría de conjuntos . El functor olvidadizo es muy simple: simplemente ignora todas las operaciones. ${\displaystyle U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$

El funtor libre F , cuando existe, es el adjunto izquierdo de U . Es decir, toma los conjuntos X en Set a sus correspondientes objetos libres F ( X ) en la categoría C . El conjunto X puede considerarse como el conjunto de "generadores" del objeto libre F ( X ). ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

Para que el functor libre sea un adjunto izquierdo, también se debe tener un morfismo de conjunto . Más explícitamente, F se caracteriza, hasta isomorfismos en C , por la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle \eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!}$

Siempre que B es un álgebra en C y es una función (un morfismo en la categoría de conjuntos), entonces existe un morfismo C único tal que . ${\displaystyle g:X\to U(B)}$ ${\displaystyle f:F(X)\to B}$ ${\displaystyle g=U(f)\circ \eta _{X}}$

Concretamente, esto envía un conjunto al objeto libre de ese conjunto; es la "inclusión de una base". Abusar de la notación (esto abusa de la notación porque X es un conjunto, mientras que F ( X ) es un álgebra; correctamente, lo es ). ${\displaystyle X\to F(X)}$ ${\displaystyle X\to U(F(X))}$

La transformación natural se llama unidad ; junto con la unidad , se puede construir un álgebra T y, por tanto, una mónada . ${\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF}$ ${\displaystyle \varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }}$

El funtor cofree es el complemento correcto del funtor olvidadizo.

Existencia

Hay teoremas de existencia generales que se aplican; el más básico de ellos garantiza que

Siempre que C es una variedad , entonces para cada conjunto X hay un objeto libre F ( X ) en C.

Aquí, una variedad es sinónimo de categoría algebraica finita , lo que implica que el conjunto de relaciones es finito y algebraico porque es monádico sobre Conjunto .

Caso general

Otros tipos de olvido también dan lugar a objetos bastante parecidos a los objetos libres, en el sentido de que se dejan adjuntos a un funtor olvidadizo, no necesariamente a conjuntos.

Por ejemplo, la construcción del álgebra tensorial en un espacio vectorial es el adjunto izquierdo del funtor en álgebras asociativas que ignora la estructura del álgebra. Por lo tanto, a menudo también se le llama álgebra libre . Asimismo, el álgebra simétrica y el álgebra exterior son álgebras simétricas y antisimétricas libres en un espacio vectorial.

Lista de objetos gratuitos

Los tipos específicos de objetos gratuitos incluyen:

• álgebra libre
  • álgebra asociativa libre
  • álgebra conmutativa libre
• categoría libre
  • categoría monoidal estricta libre
• grupo libre
  • grupo abeliano libre
  • grupo libre parcialmente conmutativo
• álgebra de Kleene libre
• celosía libre
  • álgebra booleana libre
  • red distributiva libre
  • álgebra de Heyting gratis
  • celosía modular libre
• álgebra de mentira gratis
• magma libre
• módulo libre y, en particular, espacio vectorial
• monoide libre
  • monoide conmutativo libre
  • monoide libre parcialmente conmutativo
• anillo gratis
• semigrupo libre
• semirredondo libre
  • semiring conmutativo libre
• teoría libre
• álgebra de términos
• espacio discreto

Ver también

• grupo electrógeno

Notas

1. Peter T. Johnstone, Espacios de piedra , (1982) Cambridge University Press, ISBN  0-521-23893-5 . (En el capítulo 1, sección 4.11 se ofrece un tratamiento del álgebra de Heyting libre de un generador)

enlaces externos

• En nLab : functor libre, objeto libre, espacio vectorial