En matemáticas y lógica , una operación es finita si tiene aridad finita , es decir, si tiene un número finito de valores de entrada. De manera similar, una operación infinitaria es aquella con un número infinito de valores de entrada.
En matemáticas estándar, una operación es finitaria por definición. Por lo tanto, estos términos suelen utilizarse únicamente en el contexto de la lógica infinitaria .
Un argumento finitario es aquel que puede traducirse en un conjunto finito de proposiciones simbólicas a partir de un conjunto finito [1] de axiomas . En otras palabras, es una prueba (que incluye todos los supuestos) que puede escribirse en una hoja de papel lo suficientemente grande.
Por el contrario, la lógica infinitaria estudia lógicas que permiten afirmaciones y demostraciones infinitamente largas . En este tipo de lógica, se puede considerar al cuantificador existencial , por ejemplo, como derivado de una disyunción infinitaria .
Los lógicos de principios del siglo XX se propusieron resolver el problema de los fundamentos , como por ejemplo, "¿Cuál es la verdadera base de las matemáticas?". El programa consistía en poder reescribir todas las matemáticas utilizando un lenguaje enteramente sintáctico sin semántica . En palabras de David Hilbert (refiriéndose a la geometría ), "no importa si llamamos a las cosas sillas , mesas y jarras de cerveza o puntos , líneas y planos ".
El énfasis en la finitud surgió de la idea de que el pensamiento matemático humano se basa en un número finito de principios [ cita requerida ] y todos los razonamientos siguen esencialmente una regla: el modus ponens . El proyecto era fijar un número finito de símbolos (esencialmente los numerales 1, 2, 3, ... las letras del alfabeto y algunos símbolos especiales como "+", "⇒", "(", ")", etc.), dar un número finito de proposiciones expresadas en esos símbolos, que debían tomarse como "fundamentos" (los axiomas), y algunas reglas de inferencia que modelarían la forma en que los humanos sacan conclusiones. A partir de estos, independientemente de la interpretación semántica de los símbolos, los teoremas restantes deberían seguir formalmente usando solo las reglas establecidas (que hacen que las matemáticas parezcan un juego con símbolos más que una ciencia ) sin la necesidad de depender del ingenio. La esperanza era demostrar que a partir de estos axiomas y reglas se podían deducir todos los teoremas de las matemáticas. Ese objetivo se conoce como logicismo .
