En teoría de categorías , un funtor fiel es un funtor que es inyectivo en conjuntos de homs , y un funtor completo es sobreyectivo en conjuntos de homs. Un funtor que tiene ambas propiedades se llama funtor totalmente fiel .
Explícitamente, sean C y D categorías ( localmente pequeñas ) y sea F : C → D un funtor de C a D . El funtor F induce una función
para cada par de objetos X e Y en C . Se dice que el funtor F es
para cada X e Y en C .
Un funtor fiel no necesita ser inyectivo sobre objetos o morfismos. Es decir, dos objetos X y X ′ pueden asignarse al mismo objeto en D (razón por la cual el rango de un functor completo y fiel no es necesariamente isomorfo a C ), y dos morfismos f : X → Y y f ′ : X ′ → Y ′ (con diferentes dominios/codominios) puede asignarse al mismo morfismo en D . Asimismo, un funtor completo no necesita ser sobreyectivo en objetos o morfismos. Puede haber objetos en D que no sean de la forma FX para algunos X en C. Los morfismos entre tales objetos claramente no pueden provenir de morfismos en C.
Un functor completo y fiel es necesariamente inyectivo en objetos hasta el isomorfismo. Es decir, si F : C → D es un functor completo y fiel y entonces .
La noción de que un functor sea "completo" o "fiel" no se traduce en la noción de una categoría (∞, 1). En una categoría (∞, 1), las aplicaciones entre dos objetos cualesquiera están dadas por un espacio solo hasta la homotopía. Dado que la noción de inyección y sobreyección no son nociones invariantes de homotopía (considere un intervalo integrado en números reales versus un intervalo mapeado a un punto), no tenemos la noción de que un functor sea "completo" o "fiel". Sin embargo, podemos definir un functor de cuasicategorías para que sea completamente fiel si para cada X e Y en C, el mapa es una equivalencia débil.
