Álgebra tensorial

Construcción universal en álgebra multilineal.

En matemáticas , el álgebra tensorial de un espacio vectorial V , denotado T ( V ) o T ^· ( V ), es el álgebra de tensores en V (de cualquier rango) siendo la multiplicación el producto tensorial . Es el álgebra libre en V , en el sentido de quedar adjunto al functor olvidadizo de álgebras a espacios vectoriales: es el álgebra "más general" que contiene V , en el sentido de la propiedad universal correspondiente (ver más abajo).

El álgebra tensorial es importante porque muchas otras álgebras surgen como álgebras de cocientes de T ( V ). Éstas incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , las álgebras de Clifford , el álgebra de Weyl y las álgebras envolventes universales .

El álgebra tensorial también tiene dos estructuras de coalgebra ; uno simple, que no la convierte en una bialgebra, pero que conduce al concepto de coalgebra colibre , y otro más complicado, que produce una bialgebra , y puede ampliarse dando una antípoda para crear una estructura de álgebra de Hopf .

Nota : En este artículo, se supone que todas las álgebras son unitarias y asociativas . Se requiere explícitamente que la unidad defina el coproducto .

Construcción

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Para cualquier entero no negativo k , definimos la k- ésima potencia tensorial de V como el producto tensorial de V consigo mismo k veces:

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V.}$

Es decir, T ^k V consta de todos los tensores de V de orden k . Por convención T ⁰ V es el campo terrestre K (como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo).

Luego construimos T ( V ) como la suma directa de T ^k V para k = 0,1,2,…

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

La multiplicación en T ( V ) está determinada por el isomorfismo canónico

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$

dado por el producto tensorial, que luego se extiende por linealidad a todo T ( V ). Esta regla de multiplicación implica que el álgebra tensorial T ( V ) es naturalmente un álgebra graduada con T ^k V sirviendo como subespacio de grado k . Esta calificación se puede extender a una calificación Z agregando subespacios para números enteros negativos k . ${\displaystyle T^{k}V=\{0\}}$

La construcción se generaliza de manera sencilla al álgebra tensorial de cualquier módulo M sobre un anillo conmutativo . Si R es un anillo no conmutativo , todavía se puede realizar la construcción para cualquier bimódulo R - R M. (No funciona para módulos R ordinarios porque no se pueden formar los productos tensoriales iterados).

Adjunción y propiedad universal

El álgebra tensorial T ( V ) también se llama álgebra libre en el espacio vectorial V , y es functorial ; esto significa que el mapa se extiende a mapas lineales para formar un functor desde la categoría de K -espacios vectoriales hasta la categoría de álgebras asociativas . De manera similar con otras construcciones libres , el funtor T se deja junto al funtor olvidadizo que envía cada K -álgebra asociativa a su espacio vectorial subyacente. ${\displaystyle V\mapsto T(V)}$

Explícitamente, el álgebra tensorial satisface la siguiente propiedad universal , que expresa formalmente la afirmación de que es el álgebra más general que contiene V :

Cualquier aplicación lineal de V a un álgebra asociativa A sobre K puede extenderse únicamente a un homomorfismo de álgebra de T ( V ) a A como lo indica el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle f:V\to A}$

Propiedad universal del álgebra tensorial

Aquí i es la inclusión canónica de V en T ( V ) . En cuanto a otras propiedades universales, el álgebra tensorial T ( V ) se puede definir como el álgebra única que satisface esta propiedad (específicamente, es única hasta un isomorfismo único), pero esta definición requiere demostrar que existe un objeto que satisface esta propiedad.

La propiedad universal anterior implica que T es un funtor de la categoría de espacios vectoriales sobre K , a la categoría de K -álgebras. Esto significa que cualquier aplicación lineal entre K -espacios vectoriales U y W se extiende únicamente a un homomorfismo de K -álgebra de T ( U ) a T ( W ) .

Polinomios no conmutativos

Si V tiene dimensión finita n , otra forma de ver el álgebra tensorial es como el "álgebra de polinomios sobre K en n variables no conmutantes". Si tomamos vectores de base para V , esos se convierten en variables no conmutantes (o indeterminadas ) en T ( V ), sujetas a ninguna restricción más allá de la asociatividad , la ley distributiva y la K -linealidad.

Tenga en cuenta que el álgebra de polinomios en V no es , sino más bien : una función lineal (homogénea) en V es un elemento de, por ejemplo, las coordenadas en un espacio vectorial son covectores , ya que toman un vector y dan un escalar (el dado coordenada del vector). ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle T(V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$

Cocientes

Debido a la generalidad del álgebra tensorial, se pueden construir muchas otras álgebras de interés comenzando con el álgebra tensorial y luego imponiendo ciertas relaciones a los generadores, es decir, construyendo ciertas álgebras de cocientes de T ( V ). Ejemplos de esto son el álgebra exterior , el álgebra simétrica , las álgebras de Clifford , el álgebra de Weyl y las álgebras envolventes universales .

carbongebra

El álgebra tensorial tiene dos estructuras de coalgebra diferentes . Uno es compatible con el producto tensorial y, por lo tanto, puede extenderse a una biálgebra y puede extenderse aún más con una antípoda a una estructura de álgebra de Hopf . La otra estructura, aunque más sencilla, no puede extenderse a una biálgebra. La primera estructura se desarrolla inmediatamente a continuación; la segunda estructura se da en la sección sobre la coalgebra colibre , más abajo.

El desarrollo proporcionado a continuación se puede aplicar igualmente al álgebra exterior , utilizando el símbolo de la cuña en lugar del símbolo del tensor ; También se debe tener en cuenta un signo al permutar elementos del álgebra exterior. Esta correspondencia también dura hasta la definición de biálgebra y hasta la definición de álgebra de Hopf. Es decir, al álgebra exterior también se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$

De manera similar, al álgebra simétrica también se le puede dar la estructura de un álgebra de Hopf, exactamente de la misma manera, reemplazando en todas partes el producto tensorial por el producto tensorial simetrizado , es decir, aquel producto donde ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$ ${\displaystyle v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.}$

En cada caso, esto es posible porque el producto alterno y el producto simétrico obedecen a las condiciones de consistencia requeridas para la definición de una biálgebra y un álgebra de Hopf; esto se puede comprobar explícitamente de la manera siguiente. Siempre que se tiene un producto que obedece a estas condiciones de consistencia, la construcción se realiza; en la medida en que tal producto dio lugar a un espacio cociente, el espacio cociente hereda la estructura del álgebra de Hopf. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , se dice que hay un funtor T desde la categoría de K -espacios vectoriales hasta la categoría de K -álgebras asociativas. Pero también hay un funtor Λ que lleva espacios vectoriales a la categoría de álgebras exteriores, y un functor Sym que lleva espacios vectoriales a álgebras simétricas. Hay una aplicación natural de T para cada uno de ellos. Verificar que el cociente preserva la estructura del álgebra de Hopf es lo mismo que verificar que las aplicaciones son realmente naturales.

Coproducto

La coalgebra se obtiene definiendo un coproducto u operador diagonal

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

Aquí, se utiliza como abreviatura de para evitar una explosión de paréntesis. El símbolo se utiliza para indicar el producto tensorial "externo", necesario para la definición de coalgebra. Se utiliza para distinguirlo del producto tensorial "interno" , que ya se utiliza para denotar la multiplicación en el álgebra tensorial (consulte la sección Multiplicación , a continuación, para obtener más aclaraciones sobre este tema). Para evitar confusión entre estos dos símbolos, la mayoría de los textos lo reemplazarán con un punto simple, o incluso lo eliminarán por completo, en el entendido de que está implícito en el contexto. Esto permite entonces utilizar el símbolo en lugar del símbolo. Esto no se hace a continuación y los dos símbolos se utilizan de forma independiente y explícita para mostrar la ubicación adecuada de cada uno. El resultado es un poco más detallado, pero debería ser más fácil de comprender. ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

La definición del operador se construye más fácilmente en etapas, primero definiéndola para elementos y luego extendiéndola homomórficamente a todo el álgebra. Una elección adecuada para el coproducto es entonces ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\in V\subset TV}$

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

y

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

¿ Dónde está la unidad del campo ? Por linealidad, uno obviamente tiene ${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

para todos Es sencillo verificar que esta definición satisface los axiomas de una coalgebra: es decir, que ${\displaystyle k\in K.}$

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

¿ Dónde está el mapa de identidad ? De hecho, uno consigue ${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$ ${\displaystyle TV}$

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

y lo mismo para el otro lado. En este punto, se podría invocar un lema y decir que se extiende trivialmente, por linealidad, a todos los de , porque es un objeto libre y es un generador del álgebra libre, y es un homomorfismo. Sin embargo, es revelador proporcionar expresiones explícitas. Entonces, para , se tiene (por definición) el homomorfismo ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

Ampliando, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

En la expansión anterior, no es necesario escribir nunca, ya que se trata simplemente de una multiplicación escalar simple en el álgebra; es decir, uno trivialmente tiene eso ${\displaystyle 1\otimes v}$ ${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

La extensión anterior conserva la calificación de álgebra. Eso es,

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

Siguiendo de esta manera, se puede obtener una expresión explícita para el coproducto que actúa sobre un elemento homogéneo de orden m :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

donde el símbolo, que debería aparecer como ш, el sha, denota el producto aleatorio . Esto se expresa en la segunda suma, que se toma en cuenta todos los ( p , m − p )-shuffles . La mezcla es ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ is bijective}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{and }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}}$

Por convención, se toma que Sh( m, 0) y Sh(0, m ) es igual a {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }}. También es conveniente tomar los productos tensoriales puros e igualarlos a 1 para p = 0 y p = m , respectivamente (el producto vacío en ). La mezcla se deriva directamente del primer axioma de una coálgebra: el orden relativo de los elementos se conserva en la mezcla aleatoria: la mezcla aleatoria simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha. . ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$ ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle v_{k}}$

De manera equivalente,

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

donde están los productos y donde la suma es sobre todos los subconjuntos de . ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

Como antes, se conserva la calificación de álgebra:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

condado

La unidad viene dada por la proyección del componente de campo fuera del álgebra. Esto se puede escribir como para y para . Por homomorfismo bajo el producto tensorial , esto se extiende a ${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

para todos Es sencillo verificar que esta unidad satisface el axioma necesario para la coalgebra: ${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

Trabajando esto explícitamente, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

donde, para el último paso, se ha hecho uso del isomorfismo , como corresponde al axioma definitorio de la unidad. ${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$

biálgebra

Una bialgebra define tanto la multiplicación como la comultiplicación y requiere que sean compatibles.

Multiplicación

La multiplicación está dada por un operador.

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

que, en este caso, ya se dio como producto tensorial "interno". Eso es,

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

Es decir, lo anterior debería dejar claro por qué es necesario utilizar el símbolo: en realidad era lo mismo que ; y un descuido en la notación conduciría aquí a un caos total. Para reforzar esto: el producto tensorial del álgebra tensorial corresponde a la multiplicación utilizada en la definición de un álgebra, mientras que el producto tensorial es el requerido en la definición de comultiplicación en una coalgebra. ¡Estos dos productos tensoriales no son lo mismo! ${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

Unidad

La unidad del álgebra.

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

es solo la incrustación, de modo que

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

Que la unidad sea compatible con el producto tensorial es "trivial": es sólo parte de la definición estándar del producto tensorial de espacios vectoriales. Es decir, para el elemento de campo k y cualquier Más detalladamente, los axiomas de un álgebra asociativa requieren dos homomorfismos (o diagramas de conmutación): ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle k\otimes x=kx}$ ${\displaystyle x\in TV.}$

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

en , y que simétricamente, en , que ${\displaystyle K\boxtimes TV}$ ${\displaystyle TV\boxtimes K}$

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

donde el lado derecho de estas ecuaciones debe entenderse como el producto escalar.

Compatibilidad

La unidad y la cuenta, y la multiplicación y la comultiplicación, deben satisfacer condiciones de compatibilidad. Es sencillo ver que

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

De manera similar, la unidad es compatible con la comultiplicación:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

Lo anterior requiere el uso del isomorfismo para poder funcionar; sin esto, se pierde linealidad. En cuanto a componentes, ${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

con el lado derecho haciendo uso del isomorfismo.

La multiplicación y la unidad son compatibles:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

siempre que x o y no sean elementos de , y en caso contrario, se tiene multiplicación escalar en el campo: lo más difícil de verificar es la compatibilidad de la multiplicación y la comultiplicación: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

donde intercambia elementos. La condición de compatibilidad solo necesita verificarse en ; la compatibilidad total sigue como una extensión homomórfica para todos. La verificación es detallada pero sencilla; no se da aquí, excepto el resultado final: ${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$ ${\displaystyle V\subset TV}$ ${\displaystyle TV.}$

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

En la sección de coalgebra anterior se dio una expresión explícita para esto . ${\displaystyle v,w\in V,}$

álgebra de hopf

El álgebra de Hopf añade una antípoda a los axiomas de biálgebra. La antípoda está dada por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$

${\displaystyle S(k)=k}$

A esto a veces se le llama "antiidentidad". La antípoda está dada por ${\displaystyle v\in V=T^{1}V}$

${\displaystyle S(v)=-v}$

y sigue por ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v}$

Esto se extiende homomórficamente a

${\displaystyle {\begin{aligned}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=S(v_{m})\otimes \cdots \otimes S(v_{1})\\&=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}\end{aligned}}}$

Compatibilidad

La compatibilidad de la antípoda con la multiplicación y la comultiplicación requiere que

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

Esto es sencillo de verificar por componentes en : ${\displaystyle k\in K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

Del mismo modo, en : ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

Recordar que

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

y eso

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

para cualquiera que no esté en ${\displaystyle x\in TV}$ ${\displaystyle K.}$

Se puede proceder de manera similar, por homomorfismo, verificando que la antípoda inserte los signos canceladores apropiados en la mezcla, comenzando con la condición de compatibilidad y procediendo por inducción. ${\displaystyle T^{2}V}$

Coalgebra cocompleta colibre

Se puede definir un coproducto diferente en el álgebra tensorial, más simple que el indicado anteriormente. esta dado por

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

Aquí, como antes, se utiliza el truco de la notación (recordándolo trivialmente). ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in K}$ ${\displaystyle v\otimes 1=v}$

Este coproducto da lugar a una coalgebra. Describe una coalgebra que es dual a la estructura de álgebra en T ( V ^∗ ), donde V ^∗ denota el espacio vectorial dual de mapas lineales V → F . De la misma manera que el álgebra tensorial es un álgebra libre , la coalgebra correspondiente se denomina cocompleta colibre. Con el producto habitual esto no es una bialgebra. Se puede convertir en una bialgebra con el producto donde (i,j) denota el coeficiente binomial para . Esta biálgebra se conoce como álgebra de Hopf de potencias divididas . ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$ ${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

La diferencia entre esta y otras coalgebras se ve más fácilmente en el término. Aquí uno tiene eso ${\displaystyle T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1}$

for , al que claramente le falta un término mezclado, en comparación con antes. ${\displaystyle v,w\in V}$

Ver también

• Espacio vectorial trenzado
• Álgebra de Hopf trenzada
• categoría monoidal
• Álgebra multilineal
• espacio de mierda

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra I. Capítulos 1-3. Elementos de Matemáticas . Springer-Verlag . ISBN 3-540-64243-9. (Ver Capítulo 3 §5)

• Serge Lang (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (3.ª ed.), Springer Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4