En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un álgebra libre es el análogo no conmutativo de un anillo polinómico , ya que sus elementos pueden describirse como "polinomios" con variables no conmutativas. Asimismo, el anillo polinómico puede considerarse un álgebra conmutativa libre .
Para un anillo conmutativo R , el álgebra libre ( asociativa , unital ) sobre n indeterminados { X 1 ,..., X n } es el R -módulo libre con una base que consiste en todas las palabras del alfabeto { X 1 ,..., X n } (incluida la palabra vacía, que es la unidad del álgebra libre). Este R -módulo se convierte en un R -álgebra al definir una multiplicación como sigue: el producto de dos elementos de la base es la concatenación de las palabras correspondientes:
y el producto de dos elementos arbitrarios de módulo R está, por lo tanto, determinado de forma única (porque la multiplicación en un álgebra R debe ser bilineal R ). Esta álgebra R se denota R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩. Esta construcción se puede generalizar fácilmente a un conjunto arbitrario X de indeterminados.
En resumen, para un conjunto arbitrario , el R - álgebra libre ( asociativa , unital ) sobre X es
con la multiplicación R -bilineal que es concatenación sobre palabras, donde X * denota el monoide libre sobre X (es decir, palabras sobre las letras X i ), denota la suma directa externa , y Rw denota el R -módulo libre sobre 1 elemento, la palabra w .
Por ejemplo, en R ⟨ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ⟩, para escalares α, β, γ, δ ∈ R , un ejemplo concreto de un producto de dos elementos es
El anillo polinomial no conmutativo puede identificarse con el anillo monoide sobre R del monoide libre de todas las palabras finitas en X i .
Dado que las palabras sobre el alfabeto { X 1 , ..., X n } forman una base de R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩, está claro que cualquier elemento de R ⟨ X 1 , ..., X n ⟩ se puede escribir de forma única en la forma:
donde son elementos de R y todos, excepto un número finito de estos elementos, son cero. Esto explica por qué los elementos de R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ se denotan a menudo como "polinomios no conmutativos" en las "variables" (o "indeterminadas") X 1 ,..., X n ; se dice que los elementos son "coeficientes" de estos polinomios, y la R -álgebra R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ se llama "álgebra polinómica no conmutativa sobre R en n indeterminadas". Nótese que, a diferencia de un anillo polinómico real , las variables no conmutan . Por ejemplo, X 1 X 2 no es igual a X 2 X 1 .
De manera más general, se puede construir el álgebra libre R ⟨ E ⟩ sobre cualquier conjunto E de generadores . Dado que los anillos pueden considerarse como Z -álgebras, un anillo libre sobre E puede definirse como el álgebra libre Z ⟨ E ⟩.
Sobre un cuerpo , el álgebra libre sobre n indeterminados se puede construir como el álgebra tensorial sobre un espacio vectorial n -dimensional . Para un anillo de coeficientes más general, la misma construcción funciona si tomamos el módulo libre sobre n generadores .
La construcción del álgebra libre sobre E es de naturaleza funcional y satisface una propiedad universal apropiada . El funtor del álgebra libre es adjunto por izquierda al funtor olvidadizo de la categoría de R -álgebras a la categoría de conjuntos .
Las álgebras libres sobre anillos de división son anillos ideales libres .
