Álgebra de Lie libre

En matemáticas , un álgebra de Lie libre sobre un cuerpo K es un álgebra de Lie generada por un conjunto X , sin ninguna relación impuesta aparte de las relaciones definitorias de K -bilinealidad alternada y la identidad de Jacobi .

Definición

La definición del álgebra de Lie libre generada por un conjunto X es la siguiente:

Sea X un conjunto y un morfismo de conjuntos ( función ) de X en un álgebra de Lie L . El álgebra de Lie L se llama libre en X si es el morfismo universal ; es decir, si para cualquier álgebra de Lie A con un morfismo de conjuntos , existe un único morfismo de álgebra de Lie tal que . ${\displaystyle i\colon X\to L}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f\colon X\to A}$ ${\displaystyle g\colon L\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ i}$

Dado un conjunto X , se puede demostrar que existe un álgebra de Lie libre única generada por X. ${\displaystyle L(X)}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , el funtor que envía un conjunto X al álgebra de Lie generada por X es el funtor libre de la categoría de conjuntos a la categoría de álgebras de Lie. Es decir, es adjunto por izquierda del funtor olvidadizo .

El álgebra de Lie libre en un conjunto X está naturalmente graduada . El componente 1-graduado del álgebra de Lie libre es simplemente el espacio vectorial libre en ese conjunto.

Alternativamente, se puede definir un álgebra de Lie libre en un espacio vectorial V como adjunta por la izquierda al funtor olvidadizo de las álgebras de Lie sobre un cuerpo K a los espacios vectoriales sobre el cuerpo K , olvidando la estructura del álgebra de Lie, pero recordando la estructura del espacio vectorial.

Álgebra envolvente universal

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie libre sobre un conjunto X es el álgebra asociativa libre generada por X . Por el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt es del "mismo tamaño" que el álgebra simétrica del álgebra de Lie libre (lo que significa que si ambos lados se gradúan dando elementos de X de grado 1, entonces son isomorfos como espacios vectoriales graduados). Esto se puede utilizar para describir la dimensión de la parte del álgebra de Lie libre de cualquier grado dado.

Ernst Witt demostró que el número de conmutadores básicos de grado k en el álgebra de Lie libre en un conjunto de m elementos está dado por el polinomio de collar :

${\displaystyle M_{m}(k)={\frac {1}{k}}\sum _{d|k}\mu (d)\cdot m^{k/d},}$

¿Dónde está la función de Möbius ? ${\displaystyle \mu }$

El dual graduado del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie libre sobre un conjunto finito es el álgebra de mezcla . Esto se deduce esencialmente porque las álgebras envolventes universales tienen la estructura de un álgebra de Hopf y el producto de mezcla describe la acción de la comultiplicación en esta álgebra. Véase álgebra tensorial para una exposición detallada de la interrelación entre el producto de mezcla y la comultiplicación.

Conjuntos de pasillos

Una base explícita del álgebra de Lie libre se puede dar en términos de un conjunto de Hall , que es un tipo particular de subconjunto dentro del magma libre en X. Los elementos del magma libre son árboles binarios , con sus hojas etiquetadas por elementos de X. Los conjuntos de Hall fueron introducidos por Marshall Hall  (1950) basándose en el trabajo de Philip Hall sobre grupos. Posteriormente, Wilhelm Magnus demostró que surgen como el álgebra de Lie graduada asociada con la filtración en un grupo libre dado por la serie central inferior . Esta correspondencia fue motivada por las identidades de conmutadores en la teoría de grupos debido a Philip Hall y Witt.

Base Lyndon

Las palabras de Lyndon son un caso especial de las palabras de Hall y, por lo tanto, en particular, existe una base del álgebra de Lie libre correspondiente a las palabras de Lyndon. Esta se llama base de Lyndon , llamada así por Roger Lyndon . (También se llama base de Chen–Fox–Lyndon o base de Lyndon–Shirshov, y es esencialmente la misma que la base de Shirshov ). Existe una biyección γ de las palabras de Lyndon en un alfabeto ordenado a una base del álgebra de Lie libre en este alfabeto definida de la siguiente manera:

• Si una palabra w tiene longitud 1 entonces (considerada como un generador del álgebra de Lie libre). ${\displaystyle \gamma (w)=w}$
• Si w tiene una longitud de al menos 2, entonces escriba para Lyndon las palabras u , v con v tan larga como sea posible (la "factorización estándar" ^[1] ). Entonces . ${\displaystyle w=uv}$ ${\displaystyle \gamma (w)=[\gamma (u),\gamma (v)]}$

Teorema de Shirshov-Witt

Anatoly Širšov  (1953) y Witt  (1956) demostraron que cualquier subálgebra de Lie de un álgebra de Lie libre es en sí misma un álgebra de Lie libre.

Aplicaciones

El teorema de Serre sobre un álgebra de Lie semisimple utiliza un álgebra de Lie libre para construir un álgebra semisimple a partir de generadores y relaciones.

Los invariantes de Milnor de un grupo de enlaces están relacionados con el álgebra de Lie libre sobre los componentes del enlace , como se analiza en ese artículo.

Véase también Lie operad para el uso de un álgebra de Lie libre en la construcción del operad.

Véase también

• Objeto libre
• Álgebra libre
• Grupo libre

Referencias

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