Álgebra de Lie graduada

En matemáticas , un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie dotada de una gradación que es compatible con el corchete de Lie . En otras palabras, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie que también es un álgebra graduada no asociativa bajo la operación de corchete. Una elección de la descomposición de Cartan dota a cualquier álgebra de Lie semisimple con la estructura de un álgebra de Lie graduada. Cualquier álgebra de Lie parabólica también es un álgebra de Lie graduada.

Una superálgebra de Lie graduada ^[1] extiende la noción de un álgebra de Lie graduada de tal manera que ya no se supone que el corchete de Lie sea necesariamente anticomutativo . Estos surgen en el estudio de las derivaciones en álgebras graduadas , en la teoría de la deformación de Murray Gerstenhaber , Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , y en la teoría de las derivadas de Lie .

Una superálgebra de Lie supergraduada ^[2] es una generalización adicional de esta noción a la categoría de superálgebras en la que una superálgebra de Lie graduada está dotada de una supergradación adicional . Estas surgen cuando se forma una superálgebra de Lie graduada en un entorno clásico (no supersimétrico) y luego se tensora para obtener el análogo supersimétrico . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Son posibles generalizaciones aún mayores para las álgebras de Lie sobre una clase de categorías monoidales entrelazadas dotadas de un coproducto y alguna noción de gradación compatible con el entrelazamiento en la categoría . Para obtener pistas en esta dirección, véase Superálgebra de Lie#Definición de teoría de categorías .

Álgebras de Lie graduadas

En su forma más básica, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie ordinaria , junto con una gradación de espacios vectoriales. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},}$

de tal manera que el corchete de Lie respeta esta gradación:

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.}$

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie graduada hereda la gradación.

Ejemplos

sl(2)

Por ejemplo, el álgebra de Lie de matrices 2 × 2 sin trazas se clasifica mediante los generadores: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {and}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Estas satisfacen las relaciones , , y . Por lo tanto, con , , y , la descomposición se presenta como un álgebra de Lie graduada. ${\displaystyle [X,Y]=H}$ ${\displaystyle [H,X]=2X}$ ${\displaystyle [H,Y]=-2Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

Álgebra de Lie libre

El álgebra de Lie libre sobre un conjunto X tiene naturalmente una gradación, dada por el número mínimo de términos necesarios para generar el elemento del grupo. Esto surge, por ejemplo, como el álgebra de Lie graduada asociada a la serie central inferior de un grupo libre .

Generalizaciones

Si es cualquier monoide conmutativo , entonces la noción de un álgebra de Lie -graduada generaliza la de un álgebra de Lie ordinaria (-)graduada de modo que las relaciones definitorias se cumplen con los enteros reemplazados por . En particular, cualquier álgebra de Lie semisimple se gradúa por los espacios raíz de su representación adjunta . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Superálgebras de Lie graduadas

Una superálgebra de Lie graduada sobre un cuerpo k (no de característica 2) consta de un espacio vectorial graduado E sobre k , junto con una operación de corchete bilineal

${\displaystyle [-,-]:E\otimes _{k}E\to E}$

de manera que se satisfacen los siguientes axiomas.

• [-, -] respeta la gradación de E : $${\displaystyle [E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.}$$
• ( Simetría ) Para todo x en E _{i e} y en E j _, $${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]}$$
• ( Identidad de Jacobi ) Para todo x en E _i , y en E _j , y z en E _k , (Si k tiene característica 3, entonces la identidad de Jacobi debe complementarse con la condición para todo x en E _impar .) $${\displaystyle (-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.}$$ ${\displaystyle [x,[x,x]]=0}$

Nótese, por ejemplo, que cuando E lleva la gradación trivial, una superálgebra de Lie graduada sobre k es simplemente un álgebra de Lie ordinaria. Cuando la gradación de E se concentra en grados pares, se recupera la definición de un álgebra de Lie ( Z -)gradada.

Ejemplos y aplicaciones

El ejemplo más básico de una superálgebra de Lie graduada se da en el estudio de las derivaciones de álgebras graduadas. Si A es una k -álgebra graduada con gradación

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},}$

entonces una k -derivación graduada d en A de grado l se define por

1. ${\displaystyle dx=0}$para , ${\displaystyle x\in k}$
2. ${\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+l}}$, y
3. ${\displaystyle d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)}$para . ${\displaystyle x\in A_{i}}$

El espacio de todas las derivaciones graduadas de grado l se denota por , y la suma directa de estos espacios, ${\displaystyle \operatorname {Der} _{l}(A)}$

${\displaystyle \operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A),}$

lleva la estructura de un módulo A. Esto generaliza la noción de una derivación de álgebras conmutativas a la categoría graduada.

En Der( A ), se puede definir un corchete mediante:

[ d , δ  ] = dδ − (−1) ^ij δd , para d ∈ Der _i ( A ) y δ ∈ Der _j ( A ).

Equipado con esta estructura, Der( A ) hereda la estructura de una superálgebra de Lie graduada sobre k .

Más ejemplos:

• El corchete de Frölicher-Nijenhuis es un ejemplo de un álgebra de Lie graduada que surge naturalmente en el estudio de las conexiones en geometría diferencial .
• El corchete de Nijenhuis-Richardson surge en conexión con las deformaciones de las álgebras de Lie.

Generalizaciones

La noción de una superálgebra de Lie graduada se puede generalizar de modo que su graduación no sea solo la de los números enteros. En concreto, un semianillo con signo consta de un par , donde es un semianillo y es un homomorfismo de grupos aditivos . Entonces, una supalgebra de Lie graduada sobre un semianillo con signo consta de un espacio vectorial E graduado con respecto a la estructura aditiva en , y un corchete bilineal [-, -] que respeta la graduación en E y, además, satisface: ${\displaystyle (\Gamma ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

1. ${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]}$para todos los elementos homogéneos x e y , y
2. ${\displaystyle (-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.}$

Más ejemplos:

• Una superálgebra de Lie es una superálgebra de Lie graduada sobre el semianillo con signo , donde es el mapa identidad para la estructura aditiva en el anillo . ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Notas

1. El prefijo "super" para esto no es completamente estándar, y algunos autores pueden optar por omitirlo por completo a favor de llamar a una superálgebra de Lie graduada simplemente un álgebra de Lie graduada . Esta evasiva no es del todo injustificada, ya que las superálgebras de Lie graduadas pueden no tener nada que ver con las álgebras de supersimetría . Solo son super en la medida en que tienen una gradación. Esta gradación ocurre naturalmente, y no debido a ningún superespacio subyacente. Por lo tanto, en el sentido de la teoría de categorías , se las considera apropiadamente como objetos ordinarios no super. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
2. En relación con la supersimetría , a menudo se las llama simplemente superálgebras de Lie graduadas , pero esto entra en conflicto con la definición anterior de este artículo.
3. Así, las superálgebras de Lie supergradadas tienen un par de gradaciones: una de las cuales es supersimétrica y la otra es clásica. Pierre Deligne llama a la supersimétrica supergradación y a la clásica gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles y a menudo hay desacuerdo sobre cómo deben considerarse. Véase la discusión de Deligne sobre esta dificultad. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Referencias

• Nijenhuis, Albert ; Richardson Jr., Roger W. (1966). "Cohomología y deformaciones en álgebras de Lie graduadas". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 72 (1): 1–29. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11401-5 . MR  0195995.

Véase también

• Álgebra de Lie graduada diferencial
• Calificado (matemáticas)
• Forma con valores del álgebra de Lie