En álgebra , un álgebra de Lie parabólica es una subálgebra de un álgebra de Lie semisimple que satisface una de las dos condiciones siguientes:
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
contiene una subálgebra máxima resoluble (una subálgebra de Borel ) de ;![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- el complemento ortogonal con respecto a la forma Killing de in es el radical nil de .
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Estas condiciones son equivalentes en un campo algebraicamente cerrado de característica cero , como los números complejos . Si el campo no es algebraicamente cerrado, entonces la primera condición se reemplaza por la suposición de que![{\displaystyle \mathbb {F} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
contiene una subálgebra de Borel de![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _ {\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la clausura algebraica de ?![{\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {F} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Para el álgebra de Lie lineal general , una subálgebra parabólica es el estabilizador de una bandera parcial de , es decir, una secuencia de subespacios lineales anidados. Para una bandera completa, el estabilizador proporciona una subálgebra de Borel. Para un subespacio lineal único , se obtiene una subálgebra parabólica máxima , y el espacio de posibles elecciones es el Grassmanniano .![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {F} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {F} ^{k}\subset \mathbb {F} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {Gr} (k,n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En general, para un álgebra de Lie simple compleja , las subálgebras parabólicas están en biyección con subconjuntos de raíces simples , es decir, subconjuntos de los nodos del diagrama de Dynkin .![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Bibliografía
- Bastón, Robert J.; Eastwood, Michael G. (2016) [1989], La transformada de Penrose: su interacción con la teoría de la representación, Dover, ISBN 9780486816623
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR 1153249. OCLC 246650103.
- Grothendieck, Alexander (1957), "Sur la Classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann", Amer. J. Matemáticas. , 79 (1): 121–138, doi :10.2307/2372388, JSTOR 2372388.
- Humphreys, J. (1972), Grupos algebraicos lineales , Springer, ISBN 978-0-387-90108-4