Soporte Nijenhuis-Richardson

Estructura del álgebra de mentira graduada

En matemáticas , el corchete algebraico o corchete de Nijenhuis-Richardson es una estructura de álgebra de Lie graduada en el espacio de formas multilineales alternas de un espacio vectorial consigo mismo, introducida por A. Nijenhuis y RW Richardson, Jr (1966, 1967). Está relacionado, pero no es lo mismo, con el grupo Frölicher-Nijenhuis y el grupo Schouten-Nijenhuis .

Definición

La motivación principal para introducir el corchete fue desarrollar un marco uniforme para discutir todas las estructuras posibles del álgebra de Lie en un espacio vectorial y, posteriormente, las deformaciones de estas estructuras. Si V es un espacio vectorial y p ≥ −1 es un número entero, sea

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{p}(V)=({\bigwedge }^{p+1}V^{*})\otimes V}$

sea ​​el espacio de todas las asignaciones multilineales sesgadas ( p + 1) de V a sí mismo. La suma directa Alt( V ) es un espacio vectorial graduado . Una estructura de álgebra de Lie en V está determinada por un mapa bilineal simétrico sesgado μ  : V × V → V . Es decir, μ es un elemento de Alt ¹ ( V ). Además, μ debe obedecer a la identidad de Jacobi . El corchete de Nijenhuis-Richardson proporciona una manera sistemática de expresar esta identidad en la forma [ μ , μ ] = 0 .

En detalle, el corchete es una operación de corchete bilineal definida en Alt( V ) de la siguiente manera. En elementos homogéneos P ∈ Alt ^p ( V ) y Q ∈ Alt ^q ( V ) , el corchete de Nijenhuis-Richardson [ P , Q ] ^∧ ∈ Alt ^{p + q} ( V ) viene dado por

${\displaystyle [P,Q]^{\land }=i_{P}Q-(-1)^{pq}i_{Q}P.}$

Aquí el producto interior i _P está definido por

${\displaystyle (i_{P}Q)(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{p+q})=\sum _{\sigma \in {\text{Sh}}_{q+1,p}}\mathrm {sgn} (\sigma )P(Q(X_{\sigma (0)},X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (q)}),X_{\sigma (q+1)},\ldots ,X_{\sigma (p+q)})}$

donde denota ( q+1 , p ) - mezclas de los índices, es decir, permutaciones de tales que y . ${\displaystyle {\text{Sh}}_{q+1,p}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p+q\}}$ ${\displaystyle \sigma (0)<\cdots <\sigma (q)}$ ${\displaystyle \sigma (q+1)<\cdots <\sigma (p+q)}$

En elementos no homogéneos, el corchete se extiende por bilinealidad.

Derivaciones del anillo de formas

El corchete de Nijenhuis-Richardson se puede definir en las formas vectoriales Ω ^* ( M , T ( M )) en una variedad suave M de manera similar. Las formas con valores vectoriales actúan como derivaciones en el anillo superconmutativo Ω ^* ( M ) de formas en M al llevar K a la derivación i _K , y el corchete de Nijenhuis-Richardson corresponde al conmutador de dos derivaciones. Esto identifica Ω ^* ( M , T ( M )) con el álgebra de derivaciones que desaparecen en funciones suaves. No todas las derivaciones son de esta forma; para conocer la estructura del anillo completo de todas las derivaciones, consulte el artículo Soporte de Frölicher-Nijenhuis .

El corchete de Nijenhuis-Richardson y el corchete de Frölicher-Nijenhuis convierten Ω ^* ( M , T ( M )) en una superálgebra graduada, pero tienen diferentes grados.

Referencias

• Lecomte, Pierre; Micor, Peter W.; Schicketanz, Hubert (1992). "El álgebra multigrado de Nijenhuis-Richardson, su propiedad universal y aplicación". J. Aplicación pura. Álgebra . 77 (1): 87-102. arXiv : matemáticas/9201257 . doi :10.1016/0022-4049(92)90032-B.
• Michor, PW (2001) [1994], "Soporte Frölicher-Nijenhuis", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Micor, PW; Schicketanz, H. (1989). "Una cohomología para formas diferenciales valoradas por vectores". Ana. Análisis global. Geom . 7 (3): 163–9. arXiv : math.DG/9201255 . doi :10.1007/BF00128296. S2CID  14688631.
• Nijenhuis, A.; Richardson, R. (1966). "Cohomología y deformaciones en álgebras de Lie graduadas". Toro. América. Matemáticas. Soc . 72 : 1–29. CiteSeerX  10.1.1.333.2736 . doi :10.1090/S0002-9904-1966-11401-5. SEÑOR  0195995.
• Nijenhuis, A.; Richardson, R. (1967). "Deformación de estructuras de álgebra de Lie". J. Matemáticas. Mec . 17 (1): 89-105. JSTOR  24902154.