Producto interior

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En matemáticas , el producto interior (también conocido como derivada interior , multiplicación interior , multiplicación interior , derivada interior , operador de inserción o derivación interior ) es una (anti)derivación de grado −1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad suave . El producto interior, denominado en oposición al producto exterior , no debe confundirse con un producto interior . El producto interior a veces se escribe como ^[1] ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ ${\displaystyle X\mathbin {\lrcorner } \omega .}$

Definición

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial . Por lo tanto, si es un campo vectorial en la variedad , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$

$${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$

mapa ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$

$${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$

${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

El producto interior es la antiderivada única de grado −1 en el álgebra exterior tal que en formas únicas ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,}$$

par de dualidad ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=\left(\iota _{X}\beta \right)\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge \left(\iota _{X}\gamma \right).}$$

regla graduada de Leibniz

Propiedades

Si en coordenadas locales el campo vectorial viene dado por ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

entonces el producto interior viene dado por

$${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n},}$$

${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n}}$ ${\displaystyle dx_{r}}$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n}}$

Por antisimetría de formas,

$${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,}$$

derivada exterior ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0.}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d\circ d=0.}$

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales mediante la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan ^[2] o fórmula mágica de Cartan ) :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

donde se utilizó el anticonmutador . Esta identidad define una dualidad entre los derivados exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en geometría simpléctica y relatividad general : ver mapa de momentos . ^[3] La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan . ^[4]

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales satisface la identidad ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].}$$

Ver también

• Producto cap  - Método en topología algebraica
• Producto interno  : generalización del producto escalar; utilizado para definir espacios de HilbertPages displaying short descriptions of redirect targets
• Contracción tensorial  – Operación en matemáticas y física

Notas

1. El carácter ⨼ es PRODUCTO INTERIOR U+2A3C en Unicode
2. Mar, sección 20.5.
3. Existe otra fórmula llamada "fórmula de Cartan". Véase álgebra de Steenrod .
4. ¿La "fórmula mágica de Cartan" se debe a Élie o Henri?, MathOverflow , 21 de septiembre de 2010 , consultado el 25 de junio de 2018

Referencias

• Theodore Frankel, La geometría de la física: una introducción ; Prensa de la Universidad de Cambridge, 3ª ed. 2011
• Loring W. Tu, Introducción a las variedades , 2e, Springer. 2011. doi :10.1007/978-1-4419-7400-6