Deformación (matemáticas)

Rama de las matemáticas

En matemáticas , la teoría de la deformación es el estudio de las condiciones infinitesimales asociadas con la variación de una solución P de un problema a soluciones ligeramente diferentes P _ε , donde ε es un número pequeño o un vector de pequeñas cantidades. Las condiciones infinitesimales son el resultado de aplicar el enfoque del cálculo diferencial para resolver un problema con restricciones . El nombre es una analogía con las estructuras no rígidas que se deforman ligeramente para adaptarse a las fuerzas externas.

Algunos fenómenos característicos son: la derivación de ecuaciones de primer orden al tratar las cantidades ε como si tuvieran cuadrados despreciables; la posibilidad de soluciones aisladas , en el sentido de que variar una solución puede no ser posible, o no aporta nada nuevo; y la cuestión de si las restricciones infinitesimales realmente se "integran", de modo que su solución proporcione pequeñas variaciones. De alguna forma, estas consideraciones tienen una historia de siglos en matemáticas, pero también en física e ingeniería . Por ejemplo, en la geometría de números se reconoció una clase de resultados llamados teoremas de aislamiento , con la interpretación topológica de una órbita abierta (de una acción de grupo ) alrededor de una solución dada. La teoría de perturbaciones también analiza las deformaciones, en general de los operadores .

Deformaciones de variedades complejas

La teoría de la deformación más destacada en matemáticas ha sido la de las variedades complejas y las variedades algebraicas . Esta teoría se estableció sobre una base sólida gracias al trabajo fundacional de Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , después de que las técnicas de deformación hubieran recibido una gran cantidad de aplicaciones más tentativas en la escuela italiana de geometría algebraica . Uno espera, intuitivamente, que la teoría de la deformación de primer orden iguale el espacio tangente de Zariski con un espacio de módulos . Sin embargo, los fenómenos resultan ser bastante sutiles en el caso general.

En el caso de las superficies de Riemann , se puede explicar que la estructura compleja en la esfera de Riemann está aislada (sin módulos). Para el género 1, una curva elíptica tiene una familia de estructuras complejas de un parámetro, como se muestra en la teoría de funciones elípticas . La teoría general de Kodaira-Spencer identifica como clave para la teoría de la deformación el grupo de cohomología de haces

${\displaystyle H^{1}(\Theta )\,}$

donde Θ es (el haz de gérmenes de secciones de) el fibrado tangente holomorfo . Hay una obstrucción en el H ² del mismo haz; que siempre es cero en el caso de una curva, por razones generales de dimensión. En el caso del género 0, el H ¹ también se anula. Para el género 1, la dimensión es el número de Hodge h ^1,0 que es por lo tanto 1. Se sabe que todas las curvas del género uno tienen ecuaciones de la forma y ² = x ³ + ax + b . Estas obviamente dependen de dos parámetros, a y b, mientras que las clases de isomorfismo de tales curvas tienen solo un parámetro. Por lo tanto, debe haber una ecuación que relacione aquellas a y b que describen curvas elípticas isomorfas. Resulta que las curvas para las que b ² a ⁻³ tiene el mismo valor, describen curvas isomorfas. Es ^{decir ,} variar a y b es una forma de deformar la estructura de la curva y2 = x3 + ax + b , pero no todas las variaciones de a,b cambian realmente la clase de isomorfismo de la curva.

Se puede ir más allá con el caso del género g > 1, utilizando la dualidad de Serre para relacionar H ¹ con

${\displaystyle H^{0}(\Omega ^{[2]})}$

donde Ω es el fibrado cotangente holomorfo y la notación Ω ^[2] significa el cuadrado del tensor ( no la segunda potencia exterior ). En otras palabras, las deformaciones están reguladas por diferenciales cuadráticas holomorfas en una superficie de Riemann, nuevamente algo conocido clásicamente. La dimensión del espacio de módulos, llamado espacio de Teichmüller en este caso, se calcula como 3 g − 3, por el teorema de Riemann-Roch .

Estos ejemplos son el comienzo de una teoría que se aplica a familias holomorfas de variedades complejas, de cualquier dimensión. Otros desarrollos posteriores incluyeron: la extensión por parte de Spencer de las técnicas a otras estructuras de geometría diferencial ; la asimilación de la teoría de Kodaira-Spencer a la geometría algebraica abstracta de Grothendieck , con una consiguiente aclaración sustancial de trabajos anteriores; y la teoría de la deformación de otras estructuras, como las álgebras.

Deformaciones y mapas planos

La forma más general de una deformación es un mapa plano de espacios analíticos complejos, esquemas o gérmenes de funciones en un espacio. Grothendieck ^[1] fue el primero en encontrar esta generalización de largo alcance para las deformaciones y desarrolló la teoría en ese contexto. La idea general es que debería existir una familia universal tal que cualquier deformación pueda encontrarse como un cuadrado de pullback único . ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}}$

En muchos casos, esta familia universal es un esquema de Hilbert o un esquema de quot , o un cociente de uno de ellos. Por ejemplo, en la construcción de los módulos de curvas , se construye como un cociente de las curvas suaves en el esquema de Hilbert. Si el cuadrado de pullback no es único, entonces la familia es solo versal .

Deformaciones de gérmenes de álgebras analíticas

Una de las áreas útiles y fácilmente computables de la teoría de la deformación proviene de la teoría de la deformación de gérmenes de espacios complejos, como las variedades de Stein , las variedades complejas o las variedades analíticas complejas . ^[1] Nótese que esta teoría se puede globalizar a variedades complejas y espacios analíticos complejos considerando los haces de gérmenes de funciones holomorfas, espacios tangentes, etc. Tales álgebras son de la forma

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}}$

donde es el anillo de series de potencias convergentes y es un ideal. Por ejemplo, muchos autores estudian los gérmenes de funciones de una singularidad, como el álgebra ${\displaystyle \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}}$

representando una singularidad de curva plana. Un germen de álgebras analíticas es entonces un objeto en la categoría opuesta de tales álgebras. Entonces, una deformación de un germen de álgebras analíticas está dada por una función plana de gérmenes de álgebras analíticas donde tiene un punto distinguido tal que encaja en el cuadrado de pullback ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}}$

Estas deformaciones tienen una relación de equivalencia dada por cuadrados conmutativos.

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

donde las flechas horizontales son isomorfismos. Por ejemplo, hay una deformación de la singularidad de la curva plana dada por el diagrama opuesto del diagrama conmutativo de las álgebras analíticas.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac {\mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb {C} \{s\}\end{matrix}}}$

De hecho, Milnor estudió tales deformaciones, donde una singularidad es deformada por una constante, por lo tanto, la fibra sobre un valor distinto de cero se llama fibra de Milnor . ${\displaystyle s}$

Interpretación cohomológica de las deformaciones

Debe quedar claro que puede haber muchas deformaciones de un único germen de funciones analíticas. Debido a esto, se requieren algunos dispositivos de contabilidad para organizar toda esta información. Estos dispositivos de organización se construyen utilizando cohomología tangente. ^[1] Esto se forma utilizando la resolución de Koszul-Tate y potencialmente modificándola agregando generadores adicionales para álgebras no regulares . En el caso de las álgebras analíticas, estas resoluciones se denominan resolución de Tjurina por la matemática que estudió por primera vez tales objetos, Galina Tyurina . Esta es un álgebra graduada diferencial conmutativa graduada tal que es una función sobreyectiva de álgebras analíticas, y esta función encaja en una secuencia exacta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (R_{\bullet },s)}$ ${\displaystyle R_{0}\to A}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

Luego, al tomar el módulo graduado diferencial de derivaciones , su cohomología forma la cohomología tangente del germen de las álgebras analíticas . Estos grupos de cohomología se denotan . El contiene información sobre todas las deformaciones de y se puede calcular fácilmente utilizando la secuencia exacta ${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{k}(A)}$ ${\displaystyle T^{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

Si es isomorfo al álgebra ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}}$

entonces sus deformaciones son iguales a

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

donde es la matriz jacobiana de . Por ejemplo, las deformaciones de una hipersuperficie dada por tiene las deformaciones ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

Para la singularidad este es el módulo ${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

por lo tanto las únicas deformaciones se dan sumando constantes o factores lineales, por lo que una deformación general de es donde están los parámetros de deformación. ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$ ${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Descripción funcional

Otro método para formalizar la teoría de la deformación es el uso de funtores en la categoría de álgebras de Artin locales sobre un cuerpo. Un funtor de predeformación se define como un funtor ${\displaystyle {\text{Art}}_{k}}$

${\displaystyle F:{\text{Art}}_{k}\to {\text{Sets}}}$

tal que es un punto. La idea es que queremos estudiar la estructura infinitesimal de algún espacio de módulos alrededor de un punto donde, por encima de ese punto, se encuentra el espacio de interés. Normalmente, es más fácil describir el funtor para un problema de módulos en lugar de encontrar un espacio real. Por ejemplo, si queremos considerar el espacio de módulos de hipersuperficies de grado en , entonces podríamos considerar el funtor ${\displaystyle F(k)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle F:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

dónde

${\displaystyle F(S)=\left\{{\begin{matrix}X\\\downarrow \\S\end{matrix}}:{\text{ each fiber is a degree }}d{\text{ hypersurface in }}\mathbb {P} ^{n}\right\}}$

Aunque, en general, es más conveniente/obligatorio trabajar con funtores de grupoides en lugar de conjuntos. Esto es así en el caso de los módulos de curvas.

Observaciones técnicas sobre los infinitesimales

Los matemáticos llevan mucho tiempo utilizando los infinitesimales para argumentos no rigurosos en cálculo. La idea es que si consideramos polinomios con un infinitesimal , entonces solo importan realmente los términos de primer orden; es decir, podemos considerar ${\displaystyle F(x,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

Una aplicación simple de esto es que podemos encontrar las derivadas de monomios usando infinitesimales:

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

El término contiene la derivada del monomio, lo que demuestra su uso en cálculo. También podríamos interpretar esta ecuación como los dos primeros términos de la expansión de Taylor del monomio. Los infinitesimales se pueden hacer rigurosos utilizando elementos nilpotentes en álgebras de artin locales. En el anillo vemos que los argumentos con infinitesimales pueden funcionar. Esto motiva la notación , que se llama el anillo de números duales . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$ ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$

Además, si queremos considerar términos de orden superior de una aproximación de Taylor, entonces podríamos considerar las álgebras de Artin . Para nuestro monomio, supongamos que queremos escribir la expansión de segundo orden, entonces ${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}}$

Recuerde que una expansión de Taylor (en cero) se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(0)}{1!}}x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }$

Por lo tanto, las dos ecuaciones anteriores muestran que la segunda derivada de es . ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle 6x}$

En general, dado que queremos considerar expansiones de Taylor de orden arbitrario en cualquier número de variables, consideraremos la categoría de todas las álgebras de Taylor locales sobre un cuerpo.

Motivación

Para motivar la definición de un funtor de pre-deformación, considere la hipersuperficie proyectiva sobre un campo

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}}$

Si queremos considerar una deformación infinitesimal de este espacio, entonces podríamos escribir un cuadrado cartesiano

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

donde . Entonces, el espacio en la esquina derecha es un ejemplo de una deformación infinitesimal: la estructura teórica del esquema adicional de los elementos nilpotentes en (que es topológicamente un punto) nos permite organizar estos datos infinitesimales. Como queremos considerar todas las expansiones posibles, dejaremos que nuestro funtor de predeformación se defina en objetos como ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}}$

¿Dónde está un álgebra de Artin local? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

Funciones de predeformación suaves

Un funtor de pre-deformación se llama suave si para cualquier sobreyección tal que el cuadrado de cualquier elemento en el núcleo es cero, hay una sobreyección ${\displaystyle A'\to A}$

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

Esto está motivado por la siguiente pregunta: dada una deformación

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}}$

¿Existe una extensión de este diagrama cartesiano a los diagramas cartesianos?

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

El nombre suave proviene del criterio de elevación de un morfismo suave de esquemas.

Espacio tangente

Recordemos que el espacio tangente de un esquema se puede describir como el conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

donde la fuente es el anillo de números duales . Dado que estamos considerando el espacio tangente de un punto de algún espacio de módulos, podemos definir el espacio tangente de nuestro funtor de (pre)deformación como

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon ]).}$

Aplicaciones de la teoría de la deformación

Dimensión de los módulos de las curvas

Una de las primeras propiedades de los módulos de las curvas algebraicas se puede deducir utilizando la teoría de deformación elemental. Su dimensión se puede calcular como ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle \dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

para una curva suave arbitraria de género porque el espacio de deformación es el espacio tangente del espacio de módulos. Usando la dualidad de Serre, el espacio tangente es isomorfo a ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el teorema de Riemann-Roch da

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}}$

Para curvas de género porque ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})}$

El grado es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}}$

y para fibrados lineales de grado negativo. Por lo tanto, la dimensión del espacio de módulos es . ${\displaystyle h^{0}(L)=0}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Doblar y romper

La teoría de la deformación fue famosamente aplicada en geometría biracional por Shigefumi Mori para estudiar la existencia de curvas racionales en variedades . ^[2] Para una variedad Fano de dimensión positiva, Mori demostró que hay una curva racional que pasa por cada punto. El método de la prueba más tarde se conoció como la curvatura y rotura de Mori . La idea básica es comenzar con una curva C que pase por un punto elegido y seguir deformándola hasta que se rompa en varios componentes . Reemplazar C por uno de los componentes tiene el efecto de disminuir el género o el grado de C. Entonces, después de varias repeticiones del procedimiento, eventualmente obtendremos una curva de género 0, es decir, una curva racional. La existencia y las propiedades de las deformaciones de C requieren argumentos de la teoría de la deformación y una reducción a característica positiva .

Deformaciones aritméticas

Una de las principales aplicaciones de la teoría de la deformación es la aritmética. Puede utilizarse para responder a la siguiente pregunta: si tenemos una variedad , ¿cuáles son las posibles extensiones ? Si nuestra variedad es una curva, entonces la desaparición implica que cada deformación induce una variedad sobre ; es decir, si tenemos una curva suave ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

y una deformación

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

entonces siempre podemos extenderlo a un diagrama de la forma

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

Esto implica que podemos construir un esquema formal que proporcione una curva sobre . ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Deformaciones de esquemas abelianos

El teorema de Serre-Tate afirma, en términos generales, que las deformaciones del esquema abeliano A están controladas por las deformaciones del grupo p -divisible que consiste en sus puntos de torsión de p -potencia. ${\displaystyle A[p^{\infty }]}$

Deformaciones de Galois

Otra aplicación de la teoría de la deformación es la de las deformaciones de Galois. Nos permite responder a la pregunta: Si tenemos una representación de Galois

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})}$

¿Cómo podemos extenderlo a una representación?

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}}$

Relación con la teoría de cuerdas

La llamada conjetura de Deligne, que surgió en el contexto de las álgebras (y de la cohomología de Hochschild ), estimuló mucho interés en la teoría de la deformación en relación con la teoría de cuerdas (en términos generales, para formalizar la idea de que una teoría de cuerdas puede considerarse como una deformación de una teoría de partículas puntuales) ^{[ cita requerida ]} . Esto ahora se acepta como demostrado, después de algunos problemas con los primeros anuncios. Maxim Kontsevich se encuentra entre los que han ofrecido una prueba generalmente aceptada de esto ^{[ cita requerida ]} .

Véase también

• Mapa de Kodaira–Spencer
• Número dual
• Teorema de Schlessinger
• Comité Ejecutivo
• Complejo cotangente
• Invariante de Gromov-Witten
• Módulos de curvas algebraicas
• Degeneración (geometría algebraica)

Notas

1. Palamodov (1990). "Deformaciones de espacios complejos". Varias variables complejas IV . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 10. págs. 105-194. doi :10.1007/978-3-642-61263-3_3. ISBN 978-3-642-64766-6.
2. Debarre, Olivier (2001). "3. Lemas de flexión y ruptura". Geometría algebraica de dimensiones superiores . Universitext. Springer.

Fuentes

• "deformación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Gerstenhaber, Murray y Stasheff, James , eds. (1992). Teoría de la deformación y grupos cuánticos con aplicaciones a la física matemática , American Mathematical Society (Google eBook) ISBN 0821851411 

Pedagógico

• Palamodov, VP, III. Deformaciones de espacios complejos. Variables complejas IV (introducción muy realista)
• Notas del curso sobre teoría de la deformación (Artin)
• Estudio de la teoría de la deformación de los esquemas
• Sernesi, Eduardo, Deformaciones de esquemas algebraicos
• Hartshorne, Robin, Teoría de la deformación
• Notas del curso de Hartshorne sobre teoría de la deformación
• MSRI – Teoría de la deformación y módulos en geometría algebraica

Artículos de encuesta

• Mazur, Barry (2004), "Perturbaciones, deformaciones y variaciones (y "casi accidentes" en geometría, física y teoría de números") (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 41 (3): 307–336, doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9 , MR  2058289
• Anel, M., Por qué las deformaciones son cohomológicas (PDF)

Enlaces externos

• "Una mirada a la teoría de la deformación" (PDF) ., notas de la conferencia de Brian Osserman