colector de piedra

En matemáticas, en la teoría de varias variables complejas y variedades complejas , una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas . Fueron introducidos y nombrados en honor a Karl Stein  (1951). Un espacio Stein es similar a una variedad Stein pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son análogos de variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica.

Definición

Supongamos que es una variedad compleja de dimensión compleja y denotamos el anillo de funciones holomorfas en Llamamos variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es holomórficamente convexo, es decir, para cada subconjunto compacto , el llamado casco holomórficamente convexo , ${\displaystyle K\subset X}$

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

también es un subconjunto compacto de . ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es holomórficamente separable, es decir, si hay dos puntos en , entonces existe tal que ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Las superficies de Riemann no compactas son variedades de Stein

Sea X una superficie de Riemann conexa y no compacta . Un teorema profundo de Heinrich Behnke y Stein (1948) afirma que X es una variedad de Stein.

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), afirma además que todo paquete de vectores holomorfos en X es trivial. En particular, cada paquete de líneas es trivial, por lo que . La secuencia exponencial de la gavilla conduce a la siguiente secuencia exacta: ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Ahora el teorema B de Cartan muestra que , por lo tanto , . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Esto está relacionado con la solución del problema del primo segundo .

Propiedades y ejemplos de variedades de Stein.

• El espacio complejo estándar es una variedad de Stein. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Cada dominio de holomorfia es una variedad de Stein. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Se puede demostrar con bastante facilidad que toda subvariedad compleja cerrada de una variedad de Stein también es una variedad de Stein.

• El teorema de incrustación para variedades de Stein establece lo siguiente: Cada variedad de Stein de dimensión compleja puede ser incrustada mediante un mapa biholomórfico propio . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada de espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiental (porque la incrustación es biholomórfica).

• Cada variedad de Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de n dimensiones.

• En una dimensión compleja, la condición de Stein se puede simplificar: una superficie de Riemann conexa es una variedad de Stein si y sólo si no es compacta. Esto se puede demostrar utilizando una versión del teorema de Runge para superficies de Riemann, debida a Behnke y Stein.

• Cada variedad de Stein es holomórficamente extensible, es decir, para cada punto , hay funciones holomorfas definidas en todas las cuales forman un sistema de coordenadas local cuando se restringen a alguna vecindad abierta de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

• Ser una variedad Stein equivale a ser una variedad (compleja) fuertemente pseudoconvexa . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), es decir, una función real suave (que se puede suponer que es una función Morse ) con , de modo que los subconjuntos son compactos para cada número real . Se trata de una solución al llamado problema de Levi , ^[1] que lleva el nombre de Eugenio Levi (1911). La función invita a una generalización de la variedad de Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con límites llamados dominios de Stein . Un dominio Stein es la preimagen . Algunos autores llaman a estas variedades variedades estrictamente pseudoconvexas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$ ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$

• Relacionado con el punto anterior, otra definición equivalente y más topológica en la dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie de Stein es una superficie compleja X con una función Morse de valor real f sobre X tal que, lejos de los puntos críticos de f , la El campo de tangencias complejas a la preimagen es una estructura de contacto que induce una orientación en X _c que coincide con la orientación habitual como límite de Es decir, es un relleno de Stein de X _c . ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de tales variedades, que capturan en particular la propiedad de que tienen "muchas" funciones holomorfas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas A y B de Cartan , relacionados con la cohomología de la gavilla . El impulso inicial fue tener una descripción de las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica .

En el conjunto de analogías GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines .

Las variedades de Stein son, en cierto sentido, duales con las variedades elípticas en el análisis complejo que admiten "muchas" funciones holomorfas de los números complejos en sí mismas. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y sólo si es fibrante en el sentido de la llamada "teoría de la homotopía holomorfa".

Relación con colectores lisos

Cada variedad compacta y lisa de dimensión 2 n , que solo tiene manijas de índice ≤  n , tiene una estructura Stein siempre que n  > 2, y cuando n  = 2 se cumple lo mismo siempre que las 2 manijas estén unidas con ciertos marcos (marcos menores que el Encuadre de Thurston-Bennequin ). ^{[2] [3]} Cada 4-colectores lisos y cerrados es una unión de dos 4-colectores Stein pegados a lo largo de su límite común. ^[4]

Notas

1. Onishchik, AL (2001) [1994], "Problema de Levi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Yakov Eliashberg , Caracterización topológica de variedades Stein de dimensión> 2, Revista Internacional de Matemáticas vol. 1, núm. 1 (1990) 29–46.
3. Robert Gompf , Construcción del cuerpo del mango de superficies Stein, Annals of Mathematics 148, (1998) 619–693.
4. Selman Akbulut y Rostislav Matveyev, Una descomposición convexa para cuatro variedades, Avisos internacionales de investigación en matemáticas (1998), no 7, 371–381. Señor 1623402

Referencias

• Andrist, Rafael (2010). "Espacios de Stein caracterizados por sus endomorfismos". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 363 (5): 2341–2355. arXiv : 0809.3919 . doi : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID  14903691.
• Forster, Otto (1981), Conferencias sobre superficies de Riemann , Texto de posgrado en matemáticas, vol. 81, Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (including a proof of Behnke-Stein and Grauert–Röhrl theorems)
• Forstnerič, Franc (2011). Stein Manifolds and Holomorphic Mappings. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. Vol. 56. doi:10.1007/978-3-642-22250-4. ISBN 978-3-642-22249-8.
• Hörmander, Lars (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Mathematical Library, vol. 7, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, MR 1045639 (including a proof of the embedding theorem)
• Gompf, Robert E. (1998), "Handlebody construction of Stein surfaces", Annals of Mathematics, Second Series, 148 (2), The Annals of Mathematics, Vol. 148, No. 2: 619–693, arXiv:math/9803019, doi:10.2307/121005, ISSN 0003-486X, JSTOR 121005, MR 1668563, S2CID 17709531 (definitions and constructions of Stein domains and manifolds in dimension 4)
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Theory of Stein spaces, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, MR 0580152
• Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha (2010). "Locally conformal Kähler manifolds with potential". Mathematische Annalen. 348: 25–33. doi:10.1007/s00208-009-0463-0. S2CID 10734808.
• Iss'Sa, Hej (1966). "On the Meromorphic Function Field of a Stein Variety". Annals of Mathematics. 83 (1): 34–46. doi:10.2307/1970468. JSTOR 1970468.
• Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Ann. (in German), 123: 201–222, doi:10.1007/bf02054949, MR 0043219, S2CID 122647212
• Zhang, Jing (2008). "Algebraic Stein varieties". Mathematical Research Letters. 15 (4): 801–814. arXiv:math/0610886. doi:10.4310/MRL.2008.v15.n4.a16. MR 2424914.