Problemas de primos

Haga una función meromorfa a partir de datos locales en múltiples variables

En matemáticas , los problemas de Cousin son dos preguntas sobre varias variables complejas , relativas a la existencia de funciones meromórficas que se especifican en términos de datos locales. Fueron introducidos en casos especiales por Pierre Cousin en 1895. Ahora se plantean y resuelven para cualquier variedad compleja M , en términos de condiciones en M.

Para ambos problemas, se da una cobertura abierta de M por conjuntos U _i , junto con una función meromorfa f _i en cada U _i .

problema del primo hermano

El problema del primo primero o problema del primo aditivo supone que cada diferencia

${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

es una función holomorfa , donde está definida. Pide una función meromorfa f en M tal que

${\displaystyle f-f_{i}}$

es holomorfo en U _i ; en otras palabras, que f comparte el comportamiento singular de la función local dada. La condición indicada en el es evidentemente necesaria para ello; entonces el problema consiste en preguntar si es suficiente. El caso de una variable es el teorema de Mittag-Leffler sobre la prescripción de polos, cuando M es un subconjunto abierto del plano complejo . La teoría de superficies de Riemann muestra que será necesaria alguna restricción sobre M. El problema siempre se puede resolver en un colector Stein . ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

El problema del primo hermano puede entenderse en términos de cohomología de la gavilla de la siguiente manera. Sea K el haz de funciones meromorfas y O el haz de funciones holomorfas en M . Una sección global de K pasa a una sección global del cociente haz K / O . La pregunta inversa es el problema del primo hermano: dada una sección global de K / O , ¿existe una sección global de K de la que surge? El problema es, pues, caracterizar la imagen del mapa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi (f)}$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

Por la larga secuencia de cohomología exacta ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

es exacto, por lo que el problema del primo primero siempre se puede resolver siempre que el primer grupo de cohomología H ¹ ( M , O ) desaparezca. En particular, según el teorema B de Cartan , el problema del primo siempre es solucionable si M es una variedad de Stein.

problema del primo segundo

El problema del primo segundo o problema multiplicativo del primo supone que cada razón

${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$

es una función holomorfa que no desaparece, donde está definida. Solicita una función meromorfa f en M tal que

${\displaystyle f/f_{i}}$

es holomorfo y no desaparece. El problema del primo segundo es una generalización multidimensional del teorema de Weierstrass sobre la existencia de una función holomorfa de una variable con ceros prescritos.

El ataque a este problema mediante la toma de logaritmos , para reducirlo al problema aditivo, encuentra una obstrucción en la forma de la primera clase de Chern (ver también secuencia de gavilla exponencial ). En términos de la teoría del haz, sea el haz de funciones holomorfas que no desaparecen en ninguna parte, y el haz de funciones meromórficas que no son idénticamente cero. Ambos son entonces haces de grupos abelianos , y el cociente de la gavilla está bien definido. El problema multiplicativo de primos busca entonces identificar la imagen del mapa de cocientes. ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

La larga secuencia exacta de cohomología de la gavilla asociada al cociente es

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

por lo que el problema del primo segundo se puede resolver en todos los casos siempre que la gavilla del cociente sea la gavilla de gérmenes de los divisores de Cartier en M . La cuestión de si cada sección global es generada por una función meromórfica es, por tanto, equivalente a determinar si cada paquete de líneas en M es trivial . ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$

El grupo de cohomología para la estructura multiplicativa se puede comparar con el grupo de cohomología con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, existe una secuencia exacta de gavillas. ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

donde la gavilla más a la izquierda es la gavilla localmente constante con fibra . La obstrucción para definir un logaritmo en el nivel de H ¹ está en , de la larga secuencia de cohomología exacta ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Cuando M es una variedad de Stein, la flecha del medio es un isomorfismo porque una condición necesaria y suficiente en ese caso para que el problema del primo segundo sea siempre solucionable es que ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Ver también

• Teoremas A y B de Cartan

Referencias

• Cartan, Henri (1950). "Idéaux et módulos de funciones analíticas de complejos de variables". Boletín de la Société Mathématique de France . 2 : 29–64. doi : 10.24033/bsmf.1409 .
• Chirka, EM (2001) [1994], "Problemas de primos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Cousin, P. (1895), "Sur les fonctions de n variables", Acta Math. , 19 : 1–62, doi : 10.1007/BF02402869.
• Hitotumatu, Pecado (1951). "Problemas de primos para los ideales y el dominio de la regularidad". Informes del seminario de matemáticas de Kodai . 3 (1–2): 26–32. doi : 10.2996/kmj/1138843066 .
• Bueno, Kiyoshi (1936). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. I. Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles". Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 6 : 245–255. doi : 10.32917/hmj/1558749869 .
• Bueno, Kiyoshi (1937). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. II – Domaines d'holomorphie". Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 7 : 115-130. doi : 10.32917/hmj/1558576819 .
• Bueno, Kiyoshi (1939). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. III–Deuxième problème de Cousin" (PDF) . Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 9 : 7–19. doi : 10.32917/hmj/1558490525 .
• Armado, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Funciones analíticas de varias variables complejas , Prentice Hall.
• Chorlay, Renaud (enero de 2010). "De los problemas a las estructuras: los problemas de los primos y el surgimiento del concepto de gavilla". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 64 (1): 1–73. doi :10.1007/s00407-009-0052-3. JSTOR  41342411. S2CID  73633995.