En matemáticas , los teoremas de Cartan A y B son dos resultados demostrados por Henri Cartan alrededor de 1951, relativos a un haz coherente F en una variedad de Stein X. Son importantes tanto en su aplicación a varias variables complejas como en el desarrollo general de la cohomología de haces .
El teorema A — F está abarcado por sus secciones globales .
El teorema B se enuncia en términos cohomológicos (formulación que Cartan (1953, pág. 51) atribuye a J.-P. Serre):
Teorema B — H p ( X , F ) = 0 para todo p > 0 .
Serre (1957) estableció propiedades análogas para haces coherentes en geometría algebraica , cuando X es un esquema afín . El análogo del Teorema B en este contexto es el siguiente (Hartshorne 1977, Teorema III.3.7):
Teorema B (Análogo teórico de esquema) : Sea X un esquema afín, F un haz cuasi coherente de O X -módulos para la topología de Zariski en X . Entonces H p ( X , F ) = 0 para todo p > 0 .
Estos teoremas tienen muchas aplicaciones importantes. Por ejemplo, implican que una función holomorfa en una subvariedad compleja cerrada, Z , de una variedad de Stein X puede extenderse a una función holomorfa en todos los X . En un nivel más profundo, estos teoremas fueron utilizados por Jean-Pierre Serre para demostrar el teorema GAGA .
El teorema B es agudo en el sentido de que si H 1 ( X , F ) = 0 para todos los haces coherentes F en una variedad compleja X (resp. haces cuasi-coherentes F en un esquema noetheriano X ), entonces X es Stein (resp. afín); véase (Serre 1956) (resp. (Serre 1957) y (Hartshorne 1977, Teorema III.3.7)).