En análisis complejo , el teorema de Runge (también conocido como teorema de aproximación de Runge ) lleva el nombre del matemático alemán Carl Runge, quien lo demostró por primera vez en el año 1885. Dice lo siguiente:
Denotando por C el conjunto de números complejos , sea K un subconjunto compacto de C y sea f una función holomorfa en un conjunto abierto que contiene K. Si A es un conjunto que contiene al menos un número complejo de cada componente conexa acotada de C \ K , entonces existe una secuencia de funciones racionales que converge uniformemente a f en K y tal que todos los polos de las funciones están en A.
Tenga en cuenta que no todos los números complejos en A necesitan ser polos de todas las funciones racionales de la secuencia . Simplemente sabemos que para todos los miembros de que tienen polos, esos polos se encuentran en A.
Un aspecto que hace que este teorema sea tan poderoso es que se puede elegir el conjunto A arbitrariamente. En otras palabras, se puede elegir cualquier número complejo de los componentes conectados acotados de C \ K y el teorema garantiza la existencia de una secuencia de funciones racionales con polos sólo entre esos números elegidos.
Para el caso especial en el que C \ K es un conjunto conexo (en particular cuando K es simplemente conexo), el conjunto A en el teorema estará claramente vacío. Dado que las funciones racionales sin polos son simplemente polinomios , obtenemos el siguiente corolario : Si K es un subconjunto compacto de C tal que C \ K es un conjunto conexo, y f es una función holomorfa en un conjunto abierto que contiene K , entonces existe una secuencia de polinomios que se acerca a f uniformemente en K (los supuestos pueden relajarse, ver el teorema de Mergelyan ).
El teorema de Runge se generaliza de la siguiente manera: se puede tomar A como un subconjunto de la esfera de Riemann C ∪{∞} y requerir que A interseque también el componente conectado ilimitado de K (que ahora contiene ∞). Es decir, en la formulación dada anteriormente, las funciones racionales pueden tener un polo en el infinito, mientras que en la formulación más general el polo puede elegirse en cualquier lugar de la componente conectada ilimitada de C \ K .
Una prueba elemental, inspirada por Sarason (1998), procede de la siguiente manera. Hay un contorno cerrado por tramos lineal Γ en el conjunto abierto, que contiene K en su interior, de modo que todos los puntos distinguidos elegidos están en su exterior. Por la fórmula integral de Cauchy
para w en K . Las sumas de aproximación de Riemann se pueden utilizar para aproximar la integral de contorno uniformemente sobre K (existe una fórmula similar para la derivada). Cada término de la suma es un múltiplo escalar de ( z − w ) −1 para algún punto z del contorno. Esto da una aproximación uniforme mediante una función racional con polos en Γ.
Para modificar esto a una aproximación con polos en puntos específicos en cada componente del complemento de K , es suficiente verificar esto para términos de la forma ( z − w ) −1 . Si z 0 es el punto en el mismo componente que z , tome un camino de z a z 0 .
Si dos puntos están lo suficientemente cerca en el camino, podemos usar la fórmula
válido en el complemento del círculo ; tenga en cuenta que el camino elegido tiene una distancia positiva a K por compacidad. Esa serie se puede truncar para dar una función racional con polos sólo en el segundo punto uniformemente cercano a la función original en K. Procediendo por pasos a lo largo del camino de z a z 0, la función original ( z − w ) −1 se puede modificar sucesivamente para dar una función racional con polos solo en z 0 .
Si z 0 es el punto en el infinito, entonces mediante el procedimiento anterior la función racional ( z − w ) −1 puede aproximarse primero mediante una función racional g con polos en R > 0 donde R es tan grande que K se encuentra en w < r . La expansión en serie de Taylor de g alrededor de 0 puede luego truncarse para dar una aproximación polinómica a K.
