Teorema de Mergelyan

El teorema de Mergelyan es el resultado de la aproximación mediante polinomios en análisis complejos demostrados por el matemático armenio Sergei Mergelyan en 1951.

Declaración

Sea un subconjunto compacto del plano complejo tal que sea conexo . Entonces , toda función continua , tal que la restricción sea holomorfa , puede aproximarse uniformemente con polinomios . Aquí, denota el interior de . ^{[1] [2]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ ${\displaystyle f:K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\text{int}}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\text{int}}(K)}$ ${\displaystyle K}$

El teorema de Mergelyan también es válido para superficies abiertas de Riemann

Si es un conjunto compacto sin agujeros en una superficie de Riemann abierta , entonces cada función en puede aproximarse uniformemente mediante funciones en . ^[2] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

El teorema de Mergelyan no siempre se cumple en dimensiones superiores (espacios de varias variables complejas ), pero tiene algunas consecuencias. ^[2]

Historia

El teorema de Mergelyan es una generalización del teorema de aproximación de Weierstrass y del teorema de Runge .

En el caso de que no sea conexo, en el problema de aproximación inicial hay que sustituir los polinomios por funciones racionales . Mergelyan también sugirió un paso importante en la solución de este problema de aproximación racional en 1952. Otros resultados profundos sobre la aproximación racional se deben, en particular, a AG Vitushkin . ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$

Los teoremas de Weierstrass y Runge se propusieron en 1885, mientras que el teorema de Mergelyan data de 1951. Después de Weierstrass y Runge, muchos matemáticos (en particular Walsh , Keldysh , Lavrentyev , Hartogs y Rosenthal ) habían estado trabajando en el mismo problema. El método de prueba sugerido por Mergelyan es constructivo y sigue siendo la única prueba constructiva conocida del resultado. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Teorema de Arakelyan
• Teorema de Hartogs-Rosenthal
• Teorema de Oka-Weil

Referencias

• Lennart Carleson , Teorema de Mergelyan sobre la aproximación polinómica uniforme , Math. Scand., V. 15, (1964) 167–175.
• Dieter Gaier, Conferencias sobre aproximación compleja , Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN  0-8176-3147-X .
• W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw–Hill Book Co., New York, (1987), ISBN 0-07-054234-1.
• A. G. Vitushkin, Half a century as one day, Mathematical events of the twentieth century, 449–473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4/hbk.

Inline citation

1. Forstnerič, Franc (2019). "Mergelyan's and Arakelian's theorems for manifold-valued maps". Moscow Mathematical Journal. 19 (3): 465–484. arXiv:1801.04773. doi:10.17323/1609-4514-2019-19-3-465-484. MR 3993004.
2. Fornaess, J.E.; Forstneric, F; Wold, E.F (2020). "The Legacy of Weierstrass, Runge, Oka–Weil, and Mergelyan". In Breaz, Daniel; Rassias, Michael Th. (eds.). Advancements in Complex Analysis – Holomorphic Approximation. Springer Nature. pp. 133–192. arXiv:1802.03924. doi:10.1007/978-3-030-40120-7. ISBN 978-3-030-40119-1. S2CID 220266044.

External links

• "Mergelyan theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mergelyan's Theorem -- from Wolfram MathWorld