Convergencia uniforme

Modo de convergencia de una secuencia de funciones

Una secuencia de funciones converge uniformemente a cuando para un valor arbitrario pequeño hay un índice tal que la gráfica de está en el tubo alrededor de f siempre que ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n\geq N.}$

El límite de una secuencia de funciones continuas no tiene por qué ser continuo: la secuencia de funciones (marcada en verde y azul) converge puntualmente en todo el dominio, pero la función límite es discontinua (marcada en rojo). ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)}$

En el campo matemático del análisis , la convergencia uniforme es un modo de convergencia de funciones más fuerte que la convergencia puntual . Una secuencia de funciones converge uniformemente a una función límite en un conjunto como el dominio de la función si, dado cualquier número positivo arbitrariamente pequeño , se puede encontrar un número tal que cada una de las funciones difiere de en no más de en cada punto en . Descrito de manera informal, si converge a uniformemente, entonces la rapidez con la que las funciones se aproximan es "uniforme" en todo momento en el siguiente sentido: para garantizar que difiere de en menos de una distancia elegida , solo necesitamos asegurarnos de que es mayor o igual que un cierto , que podemos encontrar sin saber el valor de de antemano. En otras palabras, existe un número que podría depender de pero es independiente de , de modo que la elección asegurará que para todos los . Por el contrario, la convergencia puntual de a simplemente garantiza que para cualquier dado de antemano, podemos encontrar (es decir, podría depender de los valores tanto de como ) tales que, para ese particular , cae dentro de de siempre que (y un diferente puede requerir un diferente, mayor para para garantizar que ). ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$

La diferencia entre convergencia uniforme y convergencia puntual no se comprendió completamente en los comienzos de la historia del cálculo, lo que dio lugar a casos de razonamiento erróneo. El concepto, que fue formalizado por primera vez por Karl Weierstrass , es importante porque varias propiedades de las funciones , como la continuidad , la integrabilidad de Riemann y, con hipótesis adicionales, la diferenciabilidad , se transfieren al límite si la convergencia es uniforme, pero no necesariamente si la convergencia no es uniforme. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Historia

En 1821, Augustin-Louis Cauchy publicó una prueba de que una suma convergente de funciones continuas es siempre continua, a la que Niels Henrik Abel en 1826 encontró supuestos contraejemplos en el contexto de las series de Fourier , argumentando que la prueba de Cauchy tenía que ser incorrecta. En ese momento no existían nociones completamente estándar de convergencia, y Cauchy manejaba la convergencia utilizando métodos infinitesimales. Cuando se pone en el lenguaje moderno, lo que Cauchy demostró es que una secuencia uniformemente convergente de funciones continuas tiene un límite continuo. El hecho de que un límite de funciones continuas meramente convergente puntualmente no converja a una función continua ilustra la importancia de distinguir entre diferentes tipos de convergencia al manejar secuencias de funciones. ^[1]

El término convergencia uniforme probablemente fue utilizado por primera vez por Christoph Gudermann , en un artículo de 1838 sobre funciones elípticas , donde empleó la frase "convergencia de manera uniforme" cuando el "modo de convergencia" de una serie es independiente de las variables y aunque pensó que era un "hecho notable" cuando una serie convergía de esta manera, no dio una definición formal ni utilizó la propiedad en ninguna de sus pruebas. ^[2] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi .}$

Más tarde, el alumno de Gudermann, Karl Weierstrass , que asistió a su curso sobre funciones elípticas en 1839-1840, acuñó el término gleichmäßig konvergent ( ‹Ver Tfd› Alemán : uniformemente convergente ) que utilizó en su artículo de 1841 Zur Theorie der Potenzreihen , publicado en 1894. Independientemente, conceptos similares fueron articulados por Philipp Ludwig von Seidel ^[3] y George Gabriel Stokes . GH Hardy compara las tres definiciones en su artículo "Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme" y comenta: "El descubrimiento de Weierstrass fue el primero, y solo él se dio cuenta plenamente de su importancia de largo alcance como una de las ideas fundamentales del análisis".

Bajo la influencia de Weierstrass y Bernhard Riemann, este concepto y las cuestiones relacionadas con él fueron intensamente estudiados a finales del siglo XIX por Hermann Hankel , Paul du Bois-Reymond , Ulisse Dini , Cesare Arzelà y otros.

Definición

Primero definimos la convergencia uniforme para funciones de valores reales , aunque el concepto se generaliza fácilmente a funciones que asignan valores a espacios métricos y, más generalmente, a espacios uniformes (ver más abajo).

Supongamos que es un conjunto y es una secuencia de funciones de valor real sobre él. Decimos que la secuencia es uniformemente convergente sobre con límite si para cada existe un número natural tal que para todos y para todos ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

La notación para la convergencia uniforme de a no está del todo estandarizada y diferentes autores han utilizado una variedad de símbolos, incluidos (en orden de popularidad aproximadamente decreciente): ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

Con frecuencia no se utiliza ningún símbolo especial y los autores simplemente escriben

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

para indicar que la convergencia es uniforme. (Por el contrario, la expresión on sin adverbio se toma como que significa convergencia puntual en : para todo , como .) ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Dado que es un espacio métrico completo , el criterio de Cauchy se puede utilizar para dar una formulación alternativa equivalente para la convergencia uniforme: converge uniformemente en (en el sentido anterior) si y solo si para cada , existe un número natural tal que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }$.

En otra formulación equivalente, si definimos

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,}$

entonces converge a uniformemente si y solo si como . Por lo tanto, podemos caracterizar la convergencia uniforme de en como convergencia (simple) de en el espacio de funciones con respecto a la métrica uniforme (también llamada métrica suprema ), definida por ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$

Simbólicamente,

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$.

Se dice que la secuencia es localmente uniformemente convergente con límite si es un espacio métrico y para cada , existe un tal que converge uniformemente en Es claro que la convergencia uniforme implica convergencia uniforme local, lo que implica convergencia puntual. ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$

Notas

Intuitivamente, una secuencia de funciones converge uniformemente a si, dado un arbitrariamente pequeño , podemos encontrar un tal que las funciones con todas caigan dentro de un "tubo" de ancho centrado alrededor de (es decir, entre y ) para todo el dominio de la función. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle 2\epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)-\epsilon }$ ${\displaystyle f(x)+\epsilon }$

Obsérvese que intercambiar el orden de los cuantificadores en la definición de convergencia uniforme moviendo "para todos " delante de "existe un número natural " da como resultado una definición de convergencia puntual de la secuencia. Para hacer explícita esta diferencia, en el caso de convergencia uniforme, solo puede depender de , y la elección de tiene que funcionar para todos los , para un valor específico de que se da. Por el contrario, en el caso de convergencia puntual, puede depender tanto de como de , y la elección de solo tiene que funcionar para los valores específicos de y que se dan. Por lo tanto, la convergencia uniforme implica convergencia puntual, sin embargo, lo inverso no es cierto, como lo ilustra el ejemplo de la sección siguiente. ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$

Generalizaciones

Se puede extender directamente el concepto a funciones E → M , donde ( M , d ) es un espacio métrico , reemplazando con . ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$

La situación más general es la convergencia uniforme de redes de funciones E → X , donde X es un espacio uniforme . Decimos que la red converge uniformemente con límite f  : E → X si y solo si para cada entorno V en X , existe un , tal que para cada x en E y cada , está en V . En esta situación, el límite uniforme de funciones continuas sigue siendo continuo. ${\displaystyle (f_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$ ${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$

Definición en un entorno hiperreal

La convergencia uniforme admite una definición simplificada en un contexto hiperreal . Así, una sucesión converge a f de manera uniforme si, para todo x hiperreal en el dominio de y todo n infinito , es infinitamente cercano a (véase microcontinuidad para una definición similar de continuidad uniforme). Por el contrario, la continuidad puntual requiere esto solo para x real . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(x)}$

Ejemplos

Para , un ejemplo básico de convergencia uniforme se puede ilustrar de la siguiente manera: la secuencia converge uniformemente, mientras que no lo hace. Específicamente, suponga que . Cada función es menor o igual que cuando , independientemente del valor de . Por otro lado, solo es menor o igual que en valores cada vez mayores de cuando se seleccionan valores de cada vez más cercanos a 1 (se explica con más profundidad más adelante). ${\displaystyle x\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon =1/4}$ ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Dado un espacio topológico X , podemos dotar al espacio de funciones reales o complejas acotadas sobre X de la topología de norma uniforme , con la métrica uniforme definida por

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.}$

Entonces la convergencia uniforme simplemente significa convergencia en la topología de norma uniforme :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$.

La secuencia de funciones ${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

es un ejemplo clásico de una secuencia de funciones que converge a una función puntualmente pero no de manera uniforme. Para demostrarlo, observamos primero que el límite puntual de como es la función , dada por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}$

Convergencia puntual: La convergencia es trivial para y , ya que y , para todos los . Para y dado , podemos asegurar que siempre que eligiendo , que es el exponente entero mínimo de que le permite alcanzar o caer por debajo (aquí los corchetes superiores indican redondeo hacia arriba, ver función techo ). Por lo tanto, puntual para todos . Nótese que la elección de depende del valor de y . Además, para una elección fija de , (que no puede definirse como menor) crece sin límite a medida que se acerca a 1. Estas observaciones excluyen la posibilidad de convergencia uniforme. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ ${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$

No uniformidad de convergencia: La convergencia no es uniforme, porque podemos encontrar un tal que no importa cuán grande elijamos habrá valores de y tales que Para ver esto, primero observe que sin importar cuán grande se vuelva, siempre hay un tal que Por lo tanto, si elegimos nunca podemos encontrar un tal que para todos y . Explícitamente, sea cual sea el candidato que elijamos para , considere el valor de en . Dado que ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$ ${\displaystyle \epsilon =1/4,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}$

${\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

El candidato falla porque hemos encontrado un ejemplo de un que "escapó" a nuestro intento de "confinar" cada uno dentro de de para todos . De hecho, es fácil ver que ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

contrariamente al requisito de que si . ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

En este ejemplo se puede ver fácilmente que la convergencia puntual no preserva la diferenciabilidad ni la continuidad. Si bien cada función de la sucesión es suave, es decir que para todo n , , el límite ni siquiera es continuo. ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$

Función exponencial

Se puede demostrar que la expansión en serie de la función exponencial es uniformemente convergente en cualquier subconjunto acotado utilizando la prueba M de Weierstrass . ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$

Teorema (prueba M de Weierstrass). Sea una secuencia de funciones y sea una secuencia de números reales positivos tales que para todos y Si converge, entonces converge de manera absoluta y uniforme en . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$ ${\displaystyle E}$

La función exponencial compleja se puede expresar como la serie:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Cualquier subconjunto acotado es un subconjunto de algún disco de radio centrado en el origen en el plano complejo . La prueba M de Weierstrass nos obliga a encontrar un límite superior para los términos de la serie, independientemente de la posición en el disco: ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

Para ello, nos fijamos en

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

y tomar ${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

Si es convergente, entonces la prueba M afirma que la serie original es uniformemente convergente. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$

La prueba de proporción se puede utilizar aquí:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

lo que significa que la serie sobre es convergente. Por lo tanto, la serie original converge uniformemente para todos y como , la serie también es uniformemente convergente en ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle z\in D_{R},}$ ${\displaystyle S\subset D_{R}}$ ${\displaystyle S.}$

Propiedades

• Toda secuencia uniformemente convergente es localmente uniformemente convergente.
• Toda secuencia localmente uniformemente convergente es compactamente convergente .
• Para espacios localmente compactos la convergencia uniforme local y la convergencia compacta coinciden.
• Una secuencia de funciones continuas en espacios métricos, siendo el espacio métrico imagen completo, es uniformemente convergente si y sólo si es uniformemente de Cauchy .
• Si es un intervalo compacto (o en general un espacio topológico compacto), y es una sucesión monótona creciente (es decir, para todo n y x ) de funciones continuas con un límite puntual que también es continuo, entonces la convergencia es necesariamente uniforme ( teorema de Dini ). La convergencia uniforme también está garantizada si es un intervalo compacto y es una sucesión equicontinua que converge puntualmente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$

Aplicaciones

A la continuidad

Contraejemplo de un reforzamiento del teorema de convergencia uniforme, en el que se supone una convergencia puntual, en lugar de una convergencia uniforme. Las funciones verdes continuas convergen a la función roja no continua. Esto sólo puede ocurrir si la convergencia no es uniforme. ${\displaystyle \sin ^{n}(x)}$

Si y son espacios topológicos , entonces tiene sentido hablar de la continuidad de las funciones . Si además suponemos que es un espacio métrico , entonces la convergencia (uniforme) de a también está bien definida. El siguiente resultado establece que la continuidad se conserva mediante la convergencia uniforme: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Teorema del límite uniforme  :  supongamos que es un espacio topológico, es un espacio métrico y es una secuencia de funciones continuas . Si en , entonces también es continua. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to M}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$

Este teorema se demuestra mediante el " truco ε/3 ", y es el ejemplo arquetípico de este truco: para demostrar una desigualdad dada ( ε ), se utilizan las definiciones de continuidad y convergencia uniforme para producir 3 desigualdades ( ε/3 ), y luego se combinan a través de la desigualdad triangular para producir la desigualdad deseada.

Prueba

Sea un punto arbitrario. Probaremos que es continua en . Sea . Por convergencia uniforme, existe un número natural tal que ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \forall x\in E\quad d(f_{N}(x),f(x))\leq {\tfrac {\varepsilon }{3}}}$

(la convergencia uniforme muestra que la afirmación anterior es verdadera para todos los , pero solo la usaremos para una función de la secuencia, a saber ). ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle f_{N}}$

De la continuidad de at se sigue que existe un conjunto abierto que contiene tales que ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \forall x\in U\quad d(f_{N}(x),f_{N}(x_{0}))\leq {\tfrac {\varepsilon }{3}}}$.

Por lo tanto, utilizando la desigualdad triangular ,

${\displaystyle \forall x\in U\quad d(f(x),f(x_{0}))\leq d(f(x),f_{N}(x))+d(f_{N}(x),f_{N}(x_{0}))+d(f_{N}(x_{0}),f(x_{0}))\leq \varepsilon }$,

lo que nos da la continuidad de en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \quad \square }$

Este teorema es importante en la historia del análisis real y de Fourier, ya que muchos matemáticos del siglo XVIII tenían la comprensión intuitiva de que una secuencia de funciones continuas siempre converge a una función continua. La imagen de arriba muestra un contraejemplo, y muchas funciones discontinuas podrían, de hecho, escribirse como una serie de Fourier de funciones continuas. La afirmación errónea de que el límite puntual de una secuencia de funciones continuas es continuo (originalmente formulada en términos de series convergentes de funciones continuas) se conoce tristemente como "el teorema equivocado de Cauchy". El teorema del límite uniforme muestra que se necesita una forma más fuerte de convergencia, la convergencia uniforme, para garantizar la preservación de la continuidad en la función límite.

Más precisamente, este teorema establece que el límite uniforme de funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo; para un espacio localmente compacto , la continuidad es equivalente a la continuidad uniforme local y, por lo tanto, el límite uniforme de funciones continuas es continuo.

A la diferenciabilidad

Si es un intervalo y todas las funciones son diferenciables y convergen a un límite , a menudo es deseable determinar la función derivada tomando el límite de la secuencia . Sin embargo, esto en general no es posible: incluso si la convergencia es uniforme, la función límite no necesita ser diferenciable (ni siquiera si la secuencia consiste en funciones analíticas en todas partes, véase función de Weierstrass ), e incluso si es diferenciable, la derivada de la función límite no necesita ser igual al límite de las derivadas. Consideremos, por ejemplo, con límite uniforme . Claramente, también es idénticamente cero. Sin embargo, las derivadas de la secuencia de funciones están dadas por y la secuencia no converge a o incluso a ninguna función en absoluto. Para asegurar una conexión entre el límite de una secuencia de funciones diferenciables y el límite de la secuencia de derivadas, se requiere la convergencia uniforme de la secuencia de derivadas más la convergencia de la secuencia de funciones en al menos un punto: ^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f',}$

Si es una secuencia de funciones diferenciables en tal que existe (y es finita) para algún y la secuencia converge uniformemente en , entonces converge uniformemente a una función en , y para . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ ${\displaystyle (f'_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$

A la integrabilidad

De manera similar, a menudo se desea intercambiar integrales y procesos límite. Para la integral de Riemann , esto se puede hacer si se supone una convergencia uniforme:

Si es una secuencia de funciones integrables de Riemann definidas en un intervalo compacto que convergen uniformemente con el límite , entonces es integrable de Riemann y su integral se puede calcular como el límite de las integrales de : ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ $${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$$

De hecho, para una familia uniformemente convergente de funciones acotadas en un intervalo, las integrales de Riemann superior e inferior convergen a las integrales de Riemann superior e inferior de la función límite. Esto se deduce porque, para n suficientemente grande, el gráfico de está dentro de ε del gráfico de f , y por lo tanto la suma superior y la suma inferior de están cada una dentro del valor de las sumas superior e inferior de , respectivamente. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon |I|}$ ${\displaystyle f}$

Se pueden obtener teoremas mucho más fuertes a este respecto, que no requieren mucho más que la convergencia puntual, si se abandona la integral de Riemann y se utiliza en su lugar la integral de Lebesgue .

A la analiticidad

Utilizando el Teorema de Morera , se puede demostrar que si una secuencia de funciones analíticas converge uniformemente en una región S del plano complejo, entonces el límite es analítico en S. Este ejemplo demuestra que las funciones complejas se comportan mejor que las funciones reales, ya que el límite uniforme de las funciones analíticas en un intervalo real ni siquiera necesita ser diferenciable (véase la función de Weierstrass ).

A la serie

Decimos que converge: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

1. puntualmente en E si y sólo si la secuencia de sumas parciales converge para cada . ${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)}$ ${\displaystyle x\in E}$
2. uniformemente en E si y sólo si s _n converge uniformemente como . ${\displaystyle n\to \infty }$
3. absolutamente en E si y sólo si converge para cada . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$ ${\displaystyle x\in E}$

Con esta definición se llega al siguiente resultado:

Sea x ₀ contenido en el conjunto E y cada f _n sea continua en x ₀ . Si converge uniformemente en E entonces f es continua en x ₀ en E . Supóngase que y cada f _n es integrable en E . Si converge uniformemente en E entonces f es integrable en E y la serie de integrales de f _n es igual a la integral de la serie de f _n . ${\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle E=[a,b]}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

Convergencia casi uniforme

Si el dominio de las funciones es un espacio de medida E, entonces se puede definir la noción relacionada de convergencia casi uniforme . Decimos que una secuencia de funciones converge casi uniformemente en E si para cada existe un conjunto medible con medida menor que tal que la secuencia de funciones converge uniformemente en . En otras palabras, convergencia casi uniforme significa que hay conjuntos de medida arbitrariamente pequeña para los cuales la secuencia de funciones converge uniformemente en su complemento. ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle E_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$

Obsérvese que la convergencia casi uniforme de una secuencia no significa que la secuencia converja de manera uniforme en casi todas partes , como podría inferirse del nombre. Sin embargo, el teorema de Egorov sí garantiza que, en un espacio de medida finito, una secuencia de funciones que converge en casi todas partes también converge de manera casi uniforme en el mismo conjunto.

La convergencia casi uniforme implica convergencia casi en todas partes y convergencia en medida .

Véase también

• Convergencia uniforme en probabilidad
• Modos de convergencia (índice anotado)
• Teorema de Dini
• Teorema de Arzelà-Ascoli

Notas

1. Sørensen, Henrik Kragh (2005). "Excepciones y contraejemplos: comprensión del comentario de Abel sobre el teorema de Cauchy". Historia Mathematica . 32 (4): 453–480. doi :10.1016/j.hm.2004.11.010.
2. Jahnke, Hans Niels (2003). "6.7 La base del análisis en el siglo XIX: Weierstrass". Una historia del análisis . Librería AMS. p. 184. ISBN 978-0-8218-2623-2.
3. Lakatos, Imre (1976). Pruebas y refutaciones . Cambridge University Press. pp. 141. ISBN. 978-0-521-21078-2.
4. Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático, 3.ª edición, Teorema 7.17. McGraw-Hill: Nueva York.

Referencias

• Konrad Knopp , Teoría y aplicación de series infinitas ; Blackie and Son, Londres, 1954, reimpreso por Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2 . 
• GH Hardy , Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme ; Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 19 , págs. 148-156 (1918)
• Bourbaki ; Elementos de matemáticas: topología general. Capítulos 5 a 10 (libro de bolsillo) ; ISBN 0-387-19374-X 
• Walter Rudin , Principios del análisis matemático , 3.ª ed., McGraw–Hill, 1976.
• Gerald Folland , Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones, segunda edición, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• William Wade, Introducción al análisis , 3.ª ed., Pearson, 2005

Enlaces externos

"Convergencia uniforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

• Ejemplos gráficos de convergencia uniforme de series de Fourier de la Universidad de Colorado