Teorema de Dini

Criterio suficiente para la convergencia uniforme

En el campo matemático del análisis , el teorema de Dini dice que si una secuencia monótona de funciones continuas converge puntualmente en un espacio compacto y si la función límite también es continua, entonces la convergencia es uniforme. ^[1]

Declaración formal

Si es un espacio topológico compacto , y es una secuencia monótonamente creciente (es decir, para todos y ) de funciones continuas de valor real en la que converge puntualmente a una función continua , entonces la convergencia es uniforme . La misma conclusión se cumple si es monótonamente decreciente en lugar de creciente. El teorema recibe su nombre de Ulisse Dini . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Esta es una de las pocas situaciones en matemáticas en las que la convergencia puntual implica convergencia uniforme; la clave es el mayor control que implica la monotonía. La función límite debe ser continua, ya que un límite uniforme de funciones continuas es necesariamente continuo. La continuidad de la función límite no se puede inferir de la otra hipótesis (considere en .) ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Prueba

Sea dado. Para cada , sea , y sea el conjunto de aquellos tales que . Cada uno es continuo, y por lo tanto cada uno es abierto (porque cada uno es la preimagen del conjunto abierto bajo , una función continua). Como es monótonamente creciente, es monótonamente decreciente, se sigue que la secuencia es ascendente (es decir, para todos los ). Como converge puntualmente a , se sigue que la colección es una cobertura abierta de . Por compacidad, hay una subcobertura finita, y como son ascendentes, la mayor de estas también es una cobertura. Por lo tanto, obtenemos que hay algún entero positivo tal que . Es decir, si y es un punto en , entonces , como se desea. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g_{n}=f-f_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g_{n}(x)<\varepsilon }$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (g_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (E_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{N}=X}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon }$

Notas

1. Edwards 1994, pág. 165. Friedman 2007, pág. 199. Graves 2009, pág. 121. Thomson, Bruckner y Bruckner 2008, pág. 385.
2. Según Edwards 1994, p. 165, "[Este teorema] se llama teorema de Dini porque Ulisse Dini (1845-1918) presentó la versión original del mismo en su libro sobre la teoría de funciones de una variable real, publicado en Pisa en 1878".

Referencias

• Bartle, Robert G. y Sherbert Donald R. (2000) "Introducción al análisis real, tercera edición" Wiley. p 238. – Presenta una prueba utilizando calibres.
• Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2.
• Graves, Lawrence Murray (2009) [1946]. La teoría de funciones de variables reales . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47434-2.
• Friedman, Avner (2007) [1971]. Cálculo avanzado . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45795-6.
• Jost, Jürgen (2005) Postmodern Analysis, tercera edición, Springer. Véase el teorema 12.1 en la página 157 para el caso de aumento monótono.
• Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw–Hill. Véase el teorema 7.13 en la página 150 para el caso de decrecimiento monótono.
• Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008) [2001]. Análisis real elemental . ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.