Prueba de proporción

Criterio de convergencia de una serie

En matemáticas , la prueba de razón es una prueba (o "criterio") para la convergencia de una serie.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

donde cada término es un número real o complejo y n _es distinto de cero cuando n es grande. La prueba fue publicada por primera vez por Jean le Rond d'Alembert y a veces se la conoce como prueba de la razón de d'Alembert o como prueba de la razón de Cauchy . ^[1]

La prueba

Diagrama de decisión para la prueba de proporción

La forma habitual de la prueba hace uso del límite

La prueba de proporción establece que:

• si L < 1 entonces la serie converge absolutamente ;
• si L > 1 entonces la serie diverge ;
• Si L = 1 o el límite no existe, entonces la prueba no es concluyente, porque existen series convergentes y divergentes que satisfacen este caso.

Es posible hacer que la prueba de la razón sea aplicable a ciertos casos en los que el límite L no existe, si se utilizan el límite superior y el límite inferior . Los criterios de prueba también se pueden refinar de modo que la prueba sea a veces concluyente incluso cuando L = 1. Más específicamente, sea

${\displaystyle R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

${\displaystyle r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$.

Entonces la prueba de razón establece que: ^{[2] [3]}

• si R < 1, la serie converge absolutamente;
• si r > 1, la serie diverge; o equivalentemente, si para todo n grande (sin importar el valor de r ), la serie también diverge; esto se debe a que es distinto de cero y creciente y, por lo tanto, a _n no se acerca a cero; ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$ ${\displaystyle |a_{n}|}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Si existe el límite L en ( 1 ), debemos tener L = R = r . Por lo tanto, la prueba de proporción original es una versión más débil de la refinada.

Ejemplos

Convergente porqueyo< 1

Considere la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

Aplicando la prueba de razón, se calcula el límite

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.}$

Como este límite es menor que 1, la serie converge.

Divergente porqueyo> 1

Considere la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}$

Poniendo esto en la prueba de proporción:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.}$

Así pues la serie diverge.

No concluyente porqueyo= 1

Consideremos las tres series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$

La primera serie ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) diverge, la segunda (la central para el problema de Basilea ) converge absolutamente y la tercera (la serie armónica alternada ) converge condicionalmente. Sin embargo, las razones de magnitud término por término de las tres series son    y    . Por lo tanto, en las tres, el límite es igual a 1. Esto ilustra que cuando L = 1, la serie puede converger o divergir: la prueba de la razón no es concluyente. En tales casos, se requieren pruebas más refinadas para determinar la convergencia o divergencia. ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle 1,}$    ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

Prueba

En este ejemplo, la razón de los términos adyacentes en la secuencia azul converge a L=1/2. Elegimos r  = (L+1)/2 = 3/4. Entonces, la secuencia azul está dominada por la secuencia roja r ^k para todo n ≥ 2. La secuencia roja converge, por lo que la secuencia azul también lo hace.

A continuación se muestra una prueba de la validez de la prueba de razón generalizada.

Supongamos que . También suponemos que tiene infinitos miembros distintos de cero, de lo contrario la serie es solo una suma finita, por lo tanto converge. Entonces existe algún tal que existe un número natural que satisface y para todo , porque si no existe tal, entonces existe arbitrariamente grande que satisface para todo , entonces podemos encontrar una subsucesión que satisface , pero esto contradice el hecho de que es el límite inferior de como , lo que implica la existencia de . Entonces notamos que para , . Observe que así como y , esto implica diverge por lo que la serie diverge por la prueba del término n-ésimo . Ahora supongamos . Similar al caso anterior, podemos encontrar un número natural y un tal que para . Entonces La serie es la serie geométrica con razón común , por lo tanto que es finito. La suma es una suma finita y, por lo tanto, está acotada, esto implica que la serie converge por el teorema de convergencia monótona y la serie converge por la prueba de convergencia absoluta. Cuando el límite existe e igual a entonces , esto da la prueba de razón original. ${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \ell \in (1;r)}$ ${\displaystyle n_{0}\geq 2}$ ${\displaystyle a_{n_{0}}\neq 0}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>\ell }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<\ell }$ ${\displaystyle \ell \in (1;r)}$ ${\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n_{k}+1}}{a_{n_{k}}}}\right|\leq \ell <r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}+1}$ ${\displaystyle |a_{n}|>\ell |a_{n-1}|>\ell ^{2}|a_{n-2}|>...>\ell ^{n-n_{0}}\left|a_{n_{0}}\right|}$ ${\displaystyle \ell >1}$ ${\displaystyle \ell ^{n}\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \left|a_{n_{0}}\right|>0}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$
${\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle c\in (R;1)}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq c^{n-n_{1}}\left|a_{n_{1}}\right|}$ ${\displaystyle n\geq n_{1}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }|a_{n}|\leq \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }c^{n-n_{1}}|a_{n_{1}}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\left|a_{n_{1}}\right|\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}.}$$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}}$ ${\displaystyle c\in (0;1)}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}={\frac {1}{1-c}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$
${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle r=R=L}$

Extensiones parayo= 1

Como se vio en el ejemplo anterior, la prueba de la razón puede no ser concluyente cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones de la prueba de la razón a veces permiten abordar este caso. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]}

En todas las pruebas que se indican a continuación se supone que Σ a _n es una suma con a _n positivo . Estas pruebas también se pueden aplicar a cualquier serie con un número finito de términos negativos. Cualquier serie de este tipo se puede escribir como:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}$

donde N es el término negativo de mayor índice. La primera expresión de _la derecha es una suma parcial que será finita, por lo que la convergencia de toda la serie estará determinada por las propiedades de convergencia de la segunda expresión de la derecha, que puede volver a indexarse ​​para formar una serie de todos los términos positivos que comiencen en n = 1.

Cada prueba define un parámetro de prueba (ρ _n ) que especifica el comportamiento de ese parámetro necesario para establecer la convergencia o divergencia. Para cada prueba, existe una forma más débil de la prueba que, en cambio, impondrá restricciones sobre lim _n->∞ ρ _n .

Todas las pruebas tienen regiones en las que no describen las propiedades de convergencia de Σa _n . De hecho, ninguna prueba de convergencia puede describir completamente las propiedades de convergencia de la serie. ^{[4] [10]} Esto se debe a que si Σa _n es convergente, se puede encontrar una segunda serie convergente Σb _n que converge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim _n->∞ (b _n /a _n ) = ∞. Además, si Σa _n es divergente, se puede encontrar una segunda serie divergente Σb _n que diverge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim _n->∞ (b _n /a _n ) = 0. Las pruebas de convergencia utilizan esencialmente la prueba de comparación en alguna familia particular de a _n , y fallan para secuencias que convergen o divergen más lentamente.

Jerarquía de De Morgan

Augustus De Morgan propuso una jerarquía de pruebas de tipo ratio ^{[4] [9]}

Los parámetros de la prueba de proporción ( ) que se indican a continuación generalmente implican términos de la forma . Este término puede multiplicarse por para obtener . Este término puede reemplazar al término anterior en la definición de los parámetros de prueba y las conclusiones extraídas seguirán siendo las mismas. En consecuencia, no se hará distinción entre las referencias que utilicen una u otra forma del parámetro de prueba. ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}}$

1. Prueba de la razón de D'Alembert

La primera prueba en la jerarquía de De Morgan es la prueba de razón descrita anteriormente.

2. Prueba de Raabe

Esta extensión se debe a Joseph Ludwig Raabe . Definir:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$

(y algunos términos adicionales, véase Ali, Blackburn, Feld, Duris (ninguno), Duris2) ^{[ aclaración necesaria ]}

La serie: ^{[7] [10] [9]}

• Converge cuando existe un c> 1 tal que para todo n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• Divergen cuando para todo n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, ^[12] la serie:

• Converge si (esto incluye el caso ρ = ∞) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Divergir si . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Si ρ = ​​1, la prueba no es concluyente.

Cuando no exista el límite anterior, se podrán utilizar los límites superior e inferior. ^[4] La serie:

• Converger si ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Divergir si ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Prueba de la prueba de Raabe

Al definir , no necesitamos suponer que existe el límite; si , entonces diverge, mientras que si la suma converge. ${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$

La prueba procede esencialmente por comparación con . Supóngase primero que . Por supuesto, si entonces para , entonces la suma diverge; supóngase entonces que . Existe tal que para todo , es decir que . Por lo tanto , lo que implica que para ; ya que esto muestra que diverge. ${\displaystyle \sum 1/n^{R}}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<0}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\leq R}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

La prueba de la otra mitad es completamente análoga, con la mayoría de las desigualdades simplemente invertidas. Necesitamos una desigualdad preliminar para usar en lugar de la simple que se usó anteriormente: Fijemos y . Nótese que . Entonces ; por lo tanto . ${\displaystyle 1+t<e^{t}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}}$

Supongamos ahora que . Argumentando como en el primer párrafo, utilizando la desigualdad establecida en el párrafo anterior, vemos que existe tal que para ; ya que esto demuestra que converge. ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

3. Prueba de Bertrand

Esta ampliación se debe a Joseph Bertrand y Augustus De Morgan .

Definiendo:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n}$

La prueba de Bertrand ^{[4] [10]} afirma que la serie:

• Converge cuando existe un c>1 tal que para todo n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• Divergen cuando para todo n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, la serie:

• Converge si (esto incluye el caso ρ = ∞) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Divergir si . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Si ρ = ​​1, la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, es posible utilizar límites superior e inferior. ^{[4] [9] [13]} La serie:

• Converger si ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• Divergir si ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

4. Prueba de Bertrand ampliada

Esta extensión probablemente apareció por primera vez por Margaret Martin en 1941. ^[14] Una prueba corta basada en la prueba de Kummer y sin suposiciones técnicas (como la existencia de límites, por ejemplo) fue proporcionada por Vyacheslav Abramov en 2019. ^[15]

Sea un número entero, y sea el iterador número uno del logaritmo natural , es decir, y para cualquier , . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

Supongamos que la razón , cuando es grande, se puede presentar en la forma ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.}$

(Se supone que la suma vacía es 0. Con , la prueba se reduce a la prueba de Bertrand). ${\displaystyle K=1}$

El valor se puede presentar explícitamente en la forma ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).}$

La prueba de Bertrand extendida afirma que la serie

• Converge cuando existe un tal que para todo . ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle n>N}$
• Divergir cuando para todos . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$ ${\displaystyle n>N}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, la serie

• Converger si (esto incluye el caso ) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$ ${\displaystyle \rho =\infty }$
• Divergir si . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Si , la prueba no es concluyente. ${\displaystyle \rho =1}$

Cuando no exista el límite anterior, se podrán utilizar los límites superior e inferior. La serie

• Converger si ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• Divergir si ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para aplicaciones de la prueba de Bertrand extendida, consulte proceso nacimiento-muerte .

5. Prueba de Gauss

Esta extensión se debe a Carl Friedrich Gauss .

Suponiendo que n > 0 y r > 1 , si se puede encontrar una secuencia acotada C _n tal que para todo n : ^{[5] [7] [9] [10} _]

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}}$

Entonces la serie será:

• Converger si ${\displaystyle \rho >1}$
• Divergir si ${\displaystyle \rho \leq 1}$

6. Prueba de Kummer

Esta ampliación se debe a Ernst Kummer .

Sea ζ _n una secuencia auxiliar de constantes positivas. Definir

${\displaystyle \rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)}$

La prueba de Kummer establece que la serie: ^{[5] [6] [10] [11]}

• Converge si existe un tal que para todo n>N. (Nótese que esto no es lo mismo que decir ) ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle \rho _{n}>0}$
• Diverge si para todo n>N y diverge. ${\displaystyle \rho _{n}\leq 0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$

Para la versión límite, la serie será: ^{[16] [7] [9]}

• Converge si (esto incluye el caso ρ = ∞) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• Diverge si y diverge. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, puede ser posible utilizar límites superior e inferior. ^[4] La serie será

• Converger si ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• Diverge si y diverge. ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum 1/\zeta _{n}}$

Casos especiales

Todas las pruebas de la jerarquía de De Morgan, excepto la prueba de Gauss, pueden verse fácilmente como casos especiales de la prueba de Kummer: ^[4]

• Para la prueba de proporción, sea ζ _n = 1. Entonces:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1}$

• Para la prueba de Raabe, sea ζ _n = n. Entonces:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1}$

• Para la prueba de Bertrand, sea ζ _n = n ln(n). Entonces:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)}$

Usando y aproximando para n grande , que es insignificante comparado con los otros términos, se puede escribir: ${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)}$ ${\displaystyle \ln(1+1/n)\rightarrow 1/n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}}$

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1}$

• Para la prueba de Bertrand extendida, sea A partir de la expansión de la serie de Taylor para grandes llegamos a la aproximación ${\displaystyle \zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n).}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

donde se supone que el producto vacío es 1. Entonces,

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left[\prod _{k=1}^{K}\left(\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}\right)\right]+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1).}$

Por eso,

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1.}$

Obsérvese que para estas cuatro pruebas, cuanto más altas estén en la jerarquía de De Morgan, más lentamente diverge la serie. ${\displaystyle 1/\zeta _{n}}$

Prueba de la prueba de Kummer

Si entonces fijamos un número positivo . Existe un número natural tal que para cada ${\displaystyle \rho _{n}>0}$ ${\displaystyle 0<\delta <\rho _{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}.}$

Desde , para cada ${\displaystyle a_{n+1}>0}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle 0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}.}$

En particular para todos lo que significa que a partir del índice la secuencia es monótonamente decreciente y positiva lo que en particular implica que está acotada por debajo de 0. Por lo tanto, el límite ${\displaystyle \zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L}$existe.

Esto implica que la serie telescópica positiva

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)}$es convergente,

y desde entonces para todos ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}}$

por la prueba de comparación directa para series positivas, la serie es convergente. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}$

Por otra parte, si , entonces existe una N tal que es creciente para . En particular, existe una para la cual para todo , y por lo tanto diverge en comparación con . ${\displaystyle \rho <0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>\epsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}}$

Modificación de Tong de la prueba de Kummer

Tong estableció una nueva versión del test de Kummer. ^[6] Véase también ^{[8] [11] [17]} para más discusiones y nuevas demostraciones. La modificación proporcionada del teorema de Kummer caracteriza a todas las series positivas, y la convergencia o divergencia se puede formular en forma de dos condiciones necesarias y suficientes, una para la convergencia y otra para la divergencia.

• La serie converge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.}$

• La serie diverge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que y ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

La primera de estas afirmaciones puede simplificarse de la siguiente manera: ^[18]

• La serie converge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.}$

La segunda afirmación se puede simplificar de manera similar:

• La serie diverge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que y ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

Sin embargo, resulta inútil, ya que la condición en este caso se reduce a la afirmación original. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty }$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .}$

Prueba de la razón de Frink

Otra prueba de razón que puede establecerse en el marco del teorema de Kummer fue presentada por Orrin Frink ^[19] en 1948.

Supongamos que es una secuencia en , ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

• Si , entonces la serie converge absolutamente. ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$
• Si existe tal que para todo , entonces diverge. ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$

Este resultado se reduce a una comparación de con una serie de potencias y puede verse que está relacionado con la prueba de Raabe. ^[20] ${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n}n^{-p}}$

Segunda prueba de proporción de Ali

Una prueba de razón más refinada es la segunda prueba de razón: ^{[7] [9]} Para definir: ${\displaystyle a_{n}>0}$

Según la segunda prueba de proporción, la serie:

• Converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• Divergir si ${\displaystyle L>{\frac {1}{2}}}$
• Si entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}}$

Si no existen los límites anteriores, se podrán utilizar los límites superior e inferior. Definir:

Entonces la serie:

• Converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• Divergir si ${\displaystyle \ell >{\frac {1}{2}}}$
• Si entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L}$

De Alimetroprueba de razón

Esta prueba es una extensión directa de la segunda prueba de razón. ^{[7] [9]} Para y positivo defina: ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1,}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Mediante la prueba de razón n.º, la serie: ${\displaystyle m}$

• Converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• Divergir si ${\displaystyle L>{\frac {1}{m}}}$
• Si entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle L={\frac {1}{m}}}$

Si no existen los límites anteriores, se pueden utilizar los límites superior e inferior. Para definir: ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1}$

Entonces la serie:

• Converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• Divergir si ${\displaystyle \ell >{\frac {1}{m}}}$
• Si es así , entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L}$

Prueba de relación φ de Ali--Deutsche Cohen

Esta prueba es una extensión de la prueba de razón 1. ^[21] ${\displaystyle m}$

Supongamos que la secuencia es una secuencia decreciente positiva. ${\displaystyle a_{n}}$

Sea tal que existe. Denotemos y supongamos . ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Supongamos también que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.}$

Entonces la serie:

• Converger si ${\displaystyle L<\alpha }$
• Divergir si ${\displaystyle L>\alpha }$
• Si es así , entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle L=\alpha }$

Véase también

• Prueba de raíz
• Radio de convergencia

Notas al pie

1. Weisstein, Eric W. "Prueba de relación". MundoMatemático .
2. Rudin 1976, §3.34
3. Apóstol 1974, §8.14
4. Bromwich, TJ I'A (1908). Introducción a la teoría de series infinitas . Merchant Books.
5. Knopp, Konrad (1954). Teoría y aplicación de series infinitas. Londres: Blackie & Son Ltd.
6. Tong, Jingcheng (mayo de 1994). "La prueba de Kummer proporciona caracterizaciones para la convergencia o divergencia de todas las series positivas". The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450–452. doi :10.2307/2974907. JSTOR  2974907.
7. Ali, Sayel A. (2008). "La prueba de razón mth: nueva prueba de convergencia para series". The American Mathematical Monthly . 115 (6): 514–524. doi :10.1080/00029890.2008.11920558. S2CID  16336333 . Consultado el 4 de septiembre de 2024 .
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Referencias

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• Rudin, Walter (1976), Principios de análisis matemático (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8:§3.34.
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• "Criterio de Gauss", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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