Pruebas de convergencia

Criterio matemático sobre si una serie converge

En matemáticas , las pruebas de convergencia son métodos para probar la convergencia , convergencia condicional , convergencia absoluta , intervalo de convergencia o divergencia de una serie infinita . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Lista de pruebas

Límite de la suma

Si el límite del sumando no está definido o es distinto de cero, es decir , entonces la serie debe divergir. En este sentido, las sumas parciales son de Cauchy sólo si este límite existe y es igual a cero. La prueba no es concluyente si el límite del sumando es cero. Esto también se conoce como prueba del enésimo término , prueba de divergencia o prueba de divergencia . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$

Prueba de razón

Esto también se conoce como criterio de d'Alembert .

Supongamos que existe tal que ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Si r < 1, entonces la serie es absolutamente convergente. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de razón no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

prueba de raíz

Esto también se conoce como prueba de la raíz enésima o criterio de Cauchy .

Dejar

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde denota el límite superior (posiblemente ; si el límite existe es el mismo valor). ${\displaystyle \limsup }$ ${\displaystyle \infty }$

Si r < 1, entonces la serie converge absolutamente. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

La prueba de la raíz es más fuerte que la prueba de la razón: siempre que la prueba de la razón determina la convergencia o divergencia de una serie infinita, la prueba de la raíz también lo hace, pero no a la inversa. ^[1]

prueba integral

La serie se puede comparar con una integral para establecer convergencia o divergencia. Sea una función no negativa y monótonamente decreciente tal que . Si entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. En otras palabras, la serie converge si y sólo si la integral converge. ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$$ ${\displaystyle {a_{n}}}$

pag-prueba de serie

Un corolario comúnmente utilizado de la prueba integral es la prueba de la serie p. Dejar . Entonces converge si . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle p>1}$

El caso de produce la serie armónica, que diverge. El caso de es el problema de Basilea y la serie converge a . En general, para , la serie es igual a la función zeta de Riemann aplicada a , es decir . ${\displaystyle p=1,k=1}$ ${\displaystyle p=2,k=1}$ ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ${\displaystyle p>1,k=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \zeta (p)}$

Prueba de comparación directa

Si la serie es absolutamente convergente y para n suficientemente grande  , entonces la serie converge absolutamente. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Prueba de comparación de límites

Si , (es decir, cada elemento de las dos secuencias es positivo) y el límite existe, es finito y distinto de cero, entonces ambas series convergen o ambas series divergen. ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Prueba de condensación de Cauchy

Sea una secuencia no negativa y no creciente. Entonces la suma converge si y sólo si la suma converge. Además, si convergen, entonces se cumple. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$

la prueba de abel

Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$es una serie convergente,
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$es una secuencia monótona, y
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$está ligado.

Entonces también es convergente. ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$

Prueba de convergencia absoluta

Toda serie absolutamente convergente converge.

Prueba de series alternas

Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• ${\displaystyle a_{n}}$son todos positivos,
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$y
• por cada n , . ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$

Entonces y son series convergentes. Esta prueba también se conoce como criterio de Leibniz . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$

prueba de dirichlet

Si es una sucesión de números reales y una sucesión de números complejos que satisfacen ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$para cada entero positivo N

donde M es una constante, entonces la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

converge.

Prueba de convergencia de Cauchy

Una serie es convergente si y sólo si para cada existe un número natural N tal que ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

es válido para todo n > N y todo p ≥ 1 .

Teorema de Stolz-Cesàro

Sean y dos sucesiones de números reales. Supongamos que es una secuencia estrictamente monótona y divergente y existe el siguiente límite: ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

Entonces, el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

Prueba M de Weierstrass

Supongamos que ( f _n ) es una secuencia de funciones con valores reales o complejos definidas en un conjunto A , y que hay una secuencia de números no negativos ( M _n ) que satisfacen las condiciones

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$para todos y todas , y ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle x\in A}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$converge.

Entonces la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

converge absoluta y uniformemente en A .

Extensiones a la prueba de razón

La prueba de razón puede no ser concluyente cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones a la prueba de razón a veces permiten abordar este caso.

Prueba de Raabe-Duhamel

Sea { a _n } una secuencia de números positivos.

Definir

${\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).}$

Si

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

existe hay tres posibilidades:

• si L > 1 la serie converge (esto incluye el caso L = ∞)
• si L < 1 la serie diverge
• y si L = 1 la prueba no es concluyente.

Una formulación alternativa de esta prueba es la siguiente. Sea { a _n } una serie de números reales. Entonces, si b > 1 y K (un número natural) existen tales que

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}$

para todo n > K entonces la serie { a _n } es convergente.

La prueba de Bertrand

Sea { a _n } una secuencia de números positivos.

Definir

${\displaystyle b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).}$

Si

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

existe, hay tres posibilidades: ^{[2] [3]}

• si L > 1 la serie converge (esto incluye el caso L = ∞)
• si L < 1 la serie diverge
• y si L = 1 la prueba no es concluyente.

prueba de gauss

Sea { a _n } una secuencia de números positivos. Si para algún β > 1, entonces converge si α > 1 y diverge si α ≤ 1 . ^[4] ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

prueba de kummer

Sea { a _n } una secuencia de números positivos. Entonces: ^{[5] [6] [7]}

(1) converge si y sólo si existe una secuencia de números positivos y un número real c > 0 tal que . ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c}$

(2) diverge si y sólo si existe una secuencia de números positivos tal que ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0}$

y diverge. ${\displaystyle \sum 1/b_{n}}$

La prueba de Abu Mostafa

Sea una serie infinita con términos reales y sea cualquier función real tal que para todos los enteros positivos n y la segunda derivada exista en . Entonces converge absolutamente si y diverge en caso contrario. ^[8] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(1/n)=a_{n}}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$

Notas

• Para algunos tipos específicos de series existen pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para las series de Fourier existe la prueba de Dini .

Ejemplos

Considere la serie

La prueba de condensación de Cauchy implica que ( i ) es finitamente convergente si

es finitamente convergente. Desde

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}$

( ii ) es una serie geométrica con razón . ( ii ) es finitamente convergente si su razón es menor que uno (es decir , ). Por tanto, ( i ) es finitamente convergente si y sólo si . ${\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha >1}$

Convergencia de productos

Si bien la mayoría de las pruebas tratan de la convergencia de series infinitas, también pueden usarse para mostrar la convergencia o divergencia de productos infinitos . Esto se puede lograr usando el siguiente teorema: Sea una secuencia de números positivos. Entonces el producto infinito converge si y sólo si la serie converge. De manera similar, si se cumple, entonces se acerca a un límite distinto de cero si y solo si la serie converge. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$ ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Esto se puede demostrar tomando el logaritmo del producto y utilizando una prueba de comparación de límites. ^[9]

Ver también

• La regla de L'Hôpital
• regla de turno

Referencias

1. Wachsmuth, Bert G. "MathCS.org - Análisis real: prueba de relación". www.mathcs.org .
2. František Ďuriš, Serie infinita: pruebas de convergencia , págs. Tesis de licenciatura.
3. Weisstein, Eric W. "Prueba de Bertrand". mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de abril de 2020 .
4. * "Criterio de Gauss", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
5. "Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1835 (13): 171–184. 1835-01-01. doi :10.1515/crll.1835.13.171. ISSN  0075-4102. S2CID  121050774.
6. Pinzas, Jingcheng (1994). "La prueba de Kummer ofrece caracterizaciones de la convergencia o divergencia de todas las series positivas". El Mensual Matemático Estadounidense . 101 (5): 450–452. doi :10.2307/2974907. JSTOR  2974907.
7. Samelson, Hans (1995). "Más sobre la prueba de Kummer". El Mensual Matemático Estadounidense . 102 (9): 817–818. doi :10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN  0002-9890.
8. Abu-Mostafa, Yaser (1984). "Una prueba de diferenciación para la convergencia absoluta" (PDF) . Revista Matemáticas . 57 (4): 228–231.
9. Belk, Jim (26 de enero de 2008). "Convergencia de productos infinitos".

Otras lecturas

• Leithold, Luis (1972). El cálculo, con geometría analítica (2ª ed.). Nueva York: Harper & Row. págs. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.