Microcontinuidad

término matemático

En análisis no estándar , una disciplina dentro de las matemáticas clásicas , la microcontinuidad (o S -continuidad) de una función interna f en un punto a se define de la siguiente manera:

para todo x infinitamente cercano a a , el valor f ( x ) es infinitamente cercano a f ( a ).

Aquí x pasa por el dominio de f . En fórmulas, esto se puede expresar de la siguiente manera:

si entonces . ${\displaystyle x\approx a}$ ${\displaystyle f(x)\approx f(a)}$

Para una función f definida en , la definición se puede expresar en términos del halo de la siguiente manera: f es microcontinua en si y solo si , donde la extensión natural de f a los hiperreales todavía se denota por f . Alternativamente, la propiedad de microcontinuidad en c se puede expresar afirmando que la composición es constante en el halo de c , donde "st" es la función parcial estándar . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(hal(c))\subseteq hal(f(c))}$ ${\displaystyle {\text{st}}\circ f}$

Historia

La propiedad moderna de continuidad de una función fue definida por primera vez por Bolzano en 1817. Sin embargo, el trabajo de Bolzano no fue notado por la comunidad matemática en general hasta su redescubrimiento en Heine en la década de 1860. Mientras tanto, el libro de texto Cours d'Analyse de Cauchy definió la continuidad en 1821 utilizando infinitesimales como se indicó anteriormente. ^[1]

Continuidad y continuidad uniforme.

La propiedad de microcontinuidad se aplica típicamente a la extensión natural f* de una función real f . Por tanto, f definida en un intervalo real I es continua si y sólo si f* es microcontinua en cada punto de I. Mientras tanto, f es uniformemente continua en I si y sólo si f* es microcontinua en cada punto (estándar y no estándar) de la extensión natural I* de su dominio I (ver Davis, 1977, p. 96).

Ejemplo 1

La función real en el intervalo abierto (0,1) no es uniformemente continua porque la extensión natural f* de f no logra ser microcontinua en un nivel infinitesimal . De hecho, para tal a , los valores a y 2a son infinitamente cercanos, pero los valores de f* , es decir, y no son infinitamente cercanos. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2a}}}$

Ejemplo 2

La función on no es uniformemente continua porque f* no puede ser microcontinua en un punto infinito . Es decir, estableciendo y K  =  H  +  e , uno ve fácilmente que H y K están infinitamente cerca pero f *( H ) y f *( K ) no están infinitamente cerca. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\in \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle e={\tfrac {1}{H}}}$

Convergencia uniforme

De manera similar, la convergencia uniforme admite una definición simplificada en un entorno hiperreal. Por lo tanto, una secuencia converge a f uniformemente si para todo x en el dominio de f* y todo n infinito , es infinitamente cercano a . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(x)}$

Ver también

• Función de pieza estándar

Bibliografía

• Martin Davis (1977) Análisis no estándar aplicado. Matemática Pura y Aplicada. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sídney. xii+181 págs. ISBN  0-471-19897-8
• Gordon, IE; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: Análisis infinitesimal. Traducción actualizada y revisada del original ruso de 2001. Traducido por Kutateladze. Matemáticas y sus aplicaciones, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

Referencias

1. Borovik, Alejandro ; Katz, Mikhail G. (2011), "¿Quién te contó el cuento de Cauchy-Weierstrass? La historia dual del cálculo riguroso", Fundamentos de la ciencia , arXiv : 1108.2885 , doi :10.1007/s10699-011-9235-x.