función Weierstrass

Función que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna.

Gráfica de la función de Weierstrass en el intervalo [−2, 2]. Como algunos otros fractales , la función exhibe autosimilitud : cada zoom (círculo rojo) es similar a la gráfica global.

En matemáticas , la función de Weierstrass es un ejemplo de una función de valor real que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna. Es un ejemplo de curva fractal . Lleva el nombre de su descubridor Karl Weierstrass .

Históricamente, la función de Weierstrass ha desempeñado el papel de una función patológica , siendo el primer ejemplo publicado (1872) elaborado específicamente para desafiar la noción de que toda función continua es diferenciable excepto en un conjunto de puntos aislados. ^[1] La demostración de Weierstrass de que la continuidad no implicaba diferenciabilidad en casi todas partes trastornó las matemáticas, anulando varias pruebas que se basaban en la intuición geométrica y definiciones vagas de suavidad . Este tipo de funciones fueron denunciadas por sus contemporáneos: Henri Poincaré los describió como "monstruos" y calificó el trabajo de Weierstrass como "un ultraje contra el sentido común", mientras que Charles Hermite escribió que eran un "flagelo lamentable". Las funciones fueron difíciles de visualizar hasta la llegada de las computadoras en el siglo siguiente, y los resultados no obtuvieron amplia aceptación hasta que aplicaciones prácticas como los modelos de movimiento browniano requirieron funciones infinitamente irregulares (hoy conocidas como curvas fractales). ^[2]

Construcción

Animación basada en el aumento del valor b de 0,1 a 5.

En el artículo original de Weierstrass, la función se definió como una serie de Fourier :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

donde , es un número entero impar positivo, y ${\displaystyle 0<a<1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

El valor mínimo de para el cual existe tal que se cumplan estas restricciones es . Esta construcción, junto con la prueba de que la función no es diferenciable en ningún intervalo, fue presentada por primera vez por Weierstrass en un artículo presentado a la Königliche Akademie der Wissenschaften el 18 de julio de 1872. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0<a<1}$ ${\displaystyle b=7}$

A pesar de no ser diferenciable en ninguna parte, la función es continua: dado que los términos de la serie infinita que la define están acotados por ± a ⁿ y esta tiene suma finita para 0 < a < 1, la convergencia de la suma de los términos es uniforme según Weierstrass. Prueba M con M _n = a ⁿ . Dado que cada suma parcial es continua, según el teorema del límite uniforme , se deduce que f es continua. Además, dado que cada suma parcial es uniformemente continua , se deduce que f también es uniformemente continua.

Se podría esperar que una función continua deba tener una derivada, o que el conjunto de puntos donde no es diferenciable sea contablemente infinito o finito. Según Weierstrass en su artículo, los matemáticos anteriores, incluido Gauss, habían asumido a menudo que esto era cierto. Esto podría deberse a que es difícil dibujar o visualizar una función continua cuyo conjunto de puntos no diferenciables sea algo más que un conjunto de puntos contables. Existen resultados análogos para clases de funciones continuas con mejor comportamiento, por ejemplo las funciones de Lipschitz , cuyo conjunto de puntos de no diferenciabilidad debe ser un conjunto nulo de Lebesgue ( teorema de Rademacher ). Cuando intentamos dibujar una función continua general, generalmente dibujamos la gráfica de una función que es de Lipschitz o de otro modo se comporta bien. Además, el hecho de que el conjunto de puntos de no diferenciabilidad para una función monótona sea de medida cero implica que las rápidas oscilaciones de la función de Weierstrass son necesarias para garantizar que no sea diferenciable en ninguna parte.

La función de Weierstrass fue uno de los primeros fractales estudiados, aunque este término no se utilizó hasta mucho más tarde. La función tiene detalles en todos los niveles, por lo que hacer zoom en una parte de la curva no muestra que se acerque progresivamente a una línea recta. Más bien, entre dos puntos cualesquiera, no importa cuán cercanos estén, la función no será monótona.

El cálculo de la dimensión de Hausdorff D de la gráfica de la función de Weierstrass clásica fue un problema abierto hasta 2018, mientras que en general se creía que D = . ^{[6] [7]} Que D es estrictamente menor que 2 se deduce de las condiciones anteriores . Sólo después de más de 30 años se demostró esto de forma rigurosa. ^[8] ${\displaystyle 2+\log _{b}(a)<2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

El término función de Weierstrass se utiliza a menudo en análisis reales para referirse a cualquier función con propiedades y construcción similares al ejemplo original de Weierstrass. Por ejemplo, la función coseno se puede sustituir en la serie infinita por una función lineal en "zigzag" por partes . GH Hardy demostró que la función de la construcción anterior no es diferenciable en ninguna parte con los supuestos 0 < a < 1, ab ≥ 1. ^[9]

función de riemann

La función de Weierstrass se basa en la función de Riemann anterior, de la que se afirma que no es diferenciable en ninguna parte. En ocasiones, esta función también se ha denominado función de Weierstrass. ^[10]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}$

Si bien Bernhard Riemann afirmó firmemente que la función no es diferenciable en ninguna parte, Riemann no publicó evidencia de esto, y Weierstrass señaló que no encontró ninguna evidencia de que sobreviviera ni en los artículos de Riemann ni oralmente de sus estudiantes.

En 1916, GH Hardy confirmó que la función no tiene derivada finita en ningún valor de donde x es irracional o es racional con la forma de o , donde A y B son números enteros. ^[9] En 1969, Joseph Gerver descubrió que la función de Riemann tiene un diferencial definido en cada valor de x que puede expresarse en forma de números enteros A y B , o multiplicadores racionales de pi con un numerador y denominador impar. En estos puntos, la función tiene una derivada de . ^[11] En 1971, J. Gerver demostró que la función no tiene diferencial finito en los valores de x que pueden expresarse en forma de , completando el problema de la diferenciabilidad de la función de Riemann. ^[12] ${\displaystyle \pi x}$ ${\displaystyle {\frac {2A}{4B+1}}}$ ${\displaystyle {\frac {2A+1}{2B}}}$ ${\displaystyle {\frac {2A+1}{2B+1}}\pi }$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {2A}{2B+1}}\pi }$

Como la función de Riemann es diferenciable sólo en un conjunto nulo de puntos, no es diferenciable casi en ninguna parte .

Continuidad del titular

Es conveniente escribir la función de Weierstrass de manera equivalente como

${\displaystyle W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)}$

para . Entonces W _α ( x ) es continua de Hölder de exponente α, es decir que existe una constante C tal que ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}}$

${\displaystyle |W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$

para todo x e y . ^[13] Además, W ₁ es continua de Hölder de todos los órdenes α < 1 pero no continua de Lipschitz .

Densidad de funciones no diferenciables en ninguna parte

Resulta que la función de Weierstrass está lejos de ser un ejemplo aislado: aunque es "patológica", también es "típica" de funciones continuas:

• En un sentido topológico : el conjunto de funciones de valores reales no diferenciables en ninguna parte en [0, 1] es menor en el espacio vectorial C ([0, 1];  R ) de todas las funciones continuas de valores reales en [0, 1] con la topología de convergencia uniforme . ^{[14] [15]}
• En un sentido teórico de la medida : cuando el espacio C ([0, 1];  R ) está equipado con la medida clásica de Wiener γ , el conjunto de funciones que son diferenciables incluso en un solo punto de [0, 1] tiene γ - medida cero . Lo mismo es cierto incluso si se toman "porciones" de dimensión finita de C ([0, 1];  R ), en el sentido de que las funciones no diferenciables en ninguna parte forman un subconjunto predominante de C ([0, 1];  R ) .

Ver también

• curva de manjar blanco
• copo de nieve de koch
• Función continua en ninguna parte

Notas

1. Al menos dos investigadores formularon funciones continuas, en ninguna parte diferenciables, antes de Weierstrass, pero sus hallazgos no se publicaron durante su vida. Alrededor de 1831, Bernard Bolzano (1781-1848), matemático, filósofo y sacerdote católico checo, construyó dicha función; sin embargo, no se publicó hasta 1922. Ver:
   • Martin Jašek (1922) "Funkce Bolzanova" (Función de Bolzano), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Revista para el cultivo de las matemáticas y la física), vol. 51, núm. 2, páginas 69–76 (en checo y alemán).
   • Vojtěch Jarník (1922) "O funkci Bolzanově" (Sobre la función de Bolzano), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Revista para el cultivo de las matemáticas y la física), vol. 51, núm. 4, páginas 248 - 264 (en checo). Disponible en línea en checo en: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/109021/CasPestMatFys_051-1922-4_5.pdf. Disponible en línea en inglés en: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400073/Bolzano_15-1981-1_6.pdf.
   • Karel Rychlík (1923) "Über eine Funktion aus Bolzanos handschriftlichem Nachlasse" (Sobre una función de los restos literarios de Bolzano en manuscrito), Sitzungsberichte der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (Prag) (Actas de la Real Sociedad Bohemia de Filosofía en Praga) (para los años 1921-1922), Clase II, núm. 4, páginas 1-20. ( Sitzungsberichte continuó como: Věstník Královské české společnosti nauk, třída matematicko-přírodovědecká (Revista de la Clase de Ciencias, Matemáticas y Ciencias Naturales de la Real Sociedad Checa).)
   Alrededor de 1860, Charles Cellérier (1818 - 1889), profesor de matemáticas, mecánica, astronomía y geografía física en la Universidad de Ginebra, Suiza, formuló de forma independiente una función continua, no diferenciable en ninguna parte, que se parece mucho a la función de Weierstrass. Sin embargo, el descubrimiento de Cellérier se publicó póstumamente:
   • Cellérier, C. (1890) "Note sur les principes fondamentaux de l'analyse" (Nota sobre los principios fundamentales del análisis), Bulletin des sciences mathématiques , segunda serie, vol. 14, páginas 142 - 160.
2. Kucharski, Adam (26 de octubre de 2017). "Los hermosos monstruos de las matemáticas: cómo una idea destructiva allanó el camino para las matemáticas modernas" . Consultado el 11 de octubre de 2023 .
3. En la página 560 del Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Informes mensuales de la Real Academia de Ciencias de Prusia en Berlín) de 1872, hay una breve mención de que el 18 de julio, "Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Diferencialquotienten" (el Sr. Weierstrass leyó [un artículo] sobre funciones continuas sin derivadas definidas [es decir, bien definidas] [a los miembros de la Academia]). Sin embargo, el artículo de Weierstrass no se publicó en el Monatsberichte .
4. Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen" (Sobre funciones continuas de un argumento real que posee una derivada definida sin valor del argumento) en: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlín, Alemania: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, páginas 71–74.;
5. Véase también: Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Tratados de teoría de funciones] (Berlín, Alemania: Julius Springer, 1886), página 97.
6. Kenneth Falconer, La geometría de los conjuntos fractales (Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1985), páginas 114, 149.
7. Véase también: Brian R. Hunt (1998) "La dimensión de Hausdorff de las gráficas de funciones de Weierstrass", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , vol. 126, núm. 3, páginas 791-800.
8. Shen Weixiao (2018). "Dimensión de Hausdorff de las gráficas de las funciones clásicas de Weierstrass". Mathematische Zeitschrift . 289 (1–2): 223–266. arXiv : 1505.03986 . doi :10.1007/s00209-017-1949-1. ISSN  0025-5874. S2CID  118844077.
9. Hardy GH (1916) "Función no diferenciable de Weierstrass", Transactions of the American Mathematical Society , vol. 17, páginas 301–325.
10. Weisstein, Eric W. "Función de Weierstrass". MundoMatemático .
11. Gerver, José. "La diferenciabilidad de la función de Riemann en ciertos múltiplos racionales de π". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 62 (3): 668–670. doi :10.1073/pnas.62.3.668. PMC 223649 . 
12. Gerver, José. "Más sobre la diferenciabilidad de la función de Riemann". Revista Estadounidense de Matemáticas . doi :10.2307/2373445. S2CID  124562827.
13. Zygmund, A. (2002) [1935], Serie trigonométrica. vol. I, II , Biblioteca de Matemáticas de Cambridge (3.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-89053-3, señor  1963498, pag. 47.
14. Mazurkiewicz, S. (1931). "Sobre las funciones no derivables". Estudia Matemáticas . 3 (3): 92–94. doi : 10.4064/sm-3-1-92-94 .
15. Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Estudia Matemáticas . 3 (3): 174-179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .

Referencias

• David, Claire (2018), "Evitar sistemas dinámicos: una forma sencilla de obtener la dimensión de conteo de cajas de la gráfica de la función de Weierstrass", Actas del Centro Internacional de Geometría , 11 (2), Academia de Ciencias de Ucrania: 53 –68, arXiv : 1711.10349 , doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Falconer, K. (1984), La geometría de los conjuntos fractales, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. Libro 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B. Bernard R.; Olmstead, John MH (2003) [1964], Contraejemplos en análisis, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Hardy, GH (1916), "Función no diferenciable de Weierstrass" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 17 (3), American Mathematical Society: 301–325, doi :10.2307/1989005, JSTOR  1989005
• Weierstrass, Karl (18 de julio de 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen , Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen", Mathematische Werke von Karl Weierstrass , vol. 2, Berlín, Alemania: Mayer & Müller, págs. 71–74
  • Traducción al inglés: Edgar, Gerald A. (1993), "Sobre funciones continuas de un argumento real que no poseen una derivada bien definida para ningún valor de su argumento", Classics on Fractals , Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company , págs. 3 a 9, ISBN 978-0-201-58701-2

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Weierstrass". MundoMatemático .(una función de Weierstrass diferente que también es continua y no diferenciable en ninguna parte)
• Prueba de existencia de función continua en ninguna parte diferenciable utilizando el principio de contracción de Banach .
• En ninguna parte prueba de existencia de función continua monótona utilizando el teorema de la categoría de Baire .
• Johan Thim. "Funciones continuas no diferenciables en ninguna parte". Tesis de Maestría en la Universidad de Tecnología de Lulea 2003 . Consultado el 28 de julio de 2006 .
• Función de Weierstrass en el plano complejo Hermoso fractal.
• SpringerLink - Journal of Fourier Analysis and Applications, Volumen 16, Número 1 Pruebas simples de diferenciabilidad en ninguna parte para la función de Weierstrass y casos de crecimiento lento
• Funciones de Weierstrass: continuas pero no diferenciables en ninguna parte
• La función Weierstrass de Brent Nelson en Berkeley, que muestra variables no diferenciables.