Conjuntos predominantes y tímidos

En matemáticas , las nociones de prevalencia y timidez son nociones de " casi en todas partes " y " medida cero " que se adaptan bien al estudio de espacios de dimensión infinita y hacen uso de la medida de Lebesgue invariante en la traslación en espacios reales de dimensión finita. El término "tímido" fue sugerido por el matemático estadounidense John Milnor .

Definiciones

Prevalencia y timidez

Sea un espacio vectorial topológico real y sea un subconjunto medible por Borel de se dice que es prevalente si existe un subespacio de dimensión finita de llamado conjunto de sonda , tal que para todos tenemos para - casi todos donde denota la medida de Lebesgue -dimensional en Dicho de otra manera, para cada Lebesgue-casi todos los puntos del hiperplano se encuentran en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v+p\in S}$ ${\displaystyle \lambda _{P}}$ ${\displaystyle p\in P,}$ ${\displaystyle \lambda _{P}}$ ${\displaystyle \dim(P)}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle v+P}$ ${\displaystyle S.}$

Se dice que un subconjunto no Borel es prevalente si contiene un subconjunto Borel prevalente. ${\displaystyle V}$

Se dice que un subconjunto de Borel de es tímido si su complemento es prevaleciente; se dice que un subconjunto no Borel de es tímido si está contenido dentro de un subconjunto tímido de Borel. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Una definición alternativa, y ligeramente más general, es definir un conjunto como tímido si existe una medida transversal para (distinta de la medida trivial ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Prevalencia local y timidez

Se dice que un subconjunto de es localmente tímido si cada punto tiene un vecindario cuya intersección con es un conjunto tímido. Se dice que es localmente prevalente si su complemento es localmente tímido. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle N_{v}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Teoremas que involucran prevalencia y timidez

• Si es tímido, entonces también lo es cada subconjunto de y cada traducción de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
• Todo conjunto de Borel tímido admite una medida transversal finita y de apoyo compacto . Además, esta medida puede elegirse de forma que su apoyo tenga un diámetro arbitrariamente pequeño . ${\displaystyle S}$
• Toda unión finita o numerable de conjuntos tímidos también es tímida. Análogamente, la intersección numerable de conjuntos prevalentes es prevalente.
• Cualquier conjunto tímido también es localmente tímido. Si es un espacio separable , entonces cada subconjunto localmente tímido de también es tímido. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
• Un subconjunto del espacio euclidiano -dimensional es tímido si y sólo si tiene medida de Lebesgue cero. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Cualquier subconjunto predominante de es denso en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$
• Si es de dimensión infinita, entonces cada subconjunto compacto de es tímido. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

En lo sucesivo, "casi todos" se entiende que la propiedad indicada se cumple respecto de un subconjunto predominante del espacio en cuestión.

• Casi toda función continua desde el intervalo hasta la recta real no es diferenciable en ninguna parte ; aquí el espacio está con la topología inducida por la norma suprema . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C([0,1];\mathbb {R} )}$
• Casi todas las funciones en el espacio tienen la propiedad de que Claramente, la misma propiedad se cumple para los espacios de - veces funciones diferenciables ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\neq 0.}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}([0,1];\mathbb {R} ).}$
• Porque casi toda secuencia tiene la propiedad de que la serie diverge. ${\displaystyle 1<p\leq +\infty ,}$ ${\displaystyle a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$$
• Versión de prevalencia del teorema de incrustación de Whitney : Sea una variedad compacta de clase y dimensión contenida en Porque casi toda función es una incrustación de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{2d+1}}$ ${\displaystyle M.}$
• Si es un subconjunto compacto de con dimensión de Hausdorff y entonces, para casi toda función también tiene dimensión de Hausdorff ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle m\geq ,}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle d.}$
• Casi todas las funciones tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es cierto para todos los puntos del período, para cualquier número entero. ${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

Referencias

• Hunt, Brian R. (1994). "La prevalencia de funciones continuas no diferenciables en ninguna parte". Proc. Amer. Math. Soc . 122 (3). American Mathematical Society: 711–717. doi : 10.2307/2160745 . JSTOR  2160745.
• Hunt, Brian R. y Sauer, Tim y Yorke, James A. (1992). "Prevalencia: un "casi cada" invariante en la traducción en espacios de dimensión infinita". Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238. arXiv : math/9210220 . doi :10.1090/S0273-0979-1992-00328-2. S2CID  17534021.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)