Unión (teoría de conjuntos)

Conjunto de elementos de cualquiera de algunos conjuntos

Unión de dos conjuntos:
${\displaystyle ~A\cup B}$

Unión de tres conjuntos:
${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$

La unión de A, B, C, D y E es todo excepto el área blanca.

En la teoría de conjuntos , la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. ^[1] Es una de las operaciones fundamentales a través de las cuales los conjuntos pueden combinarse y relacionarse entre sí.La unión nularia se refiere a una unión decero ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ )y es por definición igual alconjunto vacío.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

Unión de dos conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A , en B o en ambos A y B . ^[2] En la notación de constructor de conjuntos ,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$. ^[3]

Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:

A = { x es un entero par mayor que 1}

B = { x es un entero impar mayor que 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, ...}, porque 9 no es primo ni par.

Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, ^{[3] [4]} por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}. La aparición múltiple de elementos idénticos no tiene efecto sobre la cardinalidad de un conjunto o su contenido.

Propiedades algebraicas

La unión binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualesquiera conjuntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B,{\text{ and }}C}$ , Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de las anteriores puede escribirse como ⁠ ⁠ . Además, la unión es conmutativa , por lo que los conjuntos pueden escribirse en cualquier orden. ^[5] El conjunto vacío es un elemento identidad para la operación de unión. Es decir, ⁠ ⁠ , para cualquier conjunto ⁠ ⁠ . Además, la operación de unión es idempotente: ⁠ ⁠ . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la disyunción lógica . $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$ ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup A=A}$

La intersección se distribuye sobre la unión y la unión se distribuye sobre la intersección ^[2] El conjunto potencia de un conjunto ⁠ ⁠ , junto con las operaciones dadas por unión, intersección y complementación , es un álgebra de Boole . En esta álgebra de Boole, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación mediante la fórmula donde el superíndice denota el complemento en el conjunto universal ⁠ ⁠ . Alternativamente, la intersección se puede expresar en términos de unión y complementación de una manera similar: . Estas dos expresiones juntas se denominan leyes de De Morgan . ^{[6] [7] [8]} $${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ $${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$ ${\displaystyle {}^{\complement }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$

Uniones finitas

Se puede tomar la unión de varios conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A , B y C contiene todos los elementos de A , todos los elementos de B y todos los elementos de C y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y solo si x está en al menos uno de A , B y C .

Una unión finita es la unión de un número finito de conjuntos; la frase no implica que el conjunto de unión sea un conjunto finito . ^{[9] [10]}

Uniones arbitrarias

La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinitaria . Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y solo si hay al menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A. ^[11] En símbolos:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Esta idea incluye las secciones anteriores: por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión del conjunto { A , B , C }. Además, si M es el conjunto vacío, entonces la unión de M es el conjunto vacío.

Notaciones

La notación para el concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos, a menudo se escribe o . Varias notaciones comunes para uniones arbitrarias incluyen , , y . La última de estas notaciones se refiere a la unión de la colección , donde I es un conjunto índice y es un conjunto para cada ⁠ ⁠ . En el caso de que el conjunto índice I sea el conjunto de números naturales , se utiliza la notación , que es análoga a la de las sumas infinitas en serie. ^[11] ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$ ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Cuando el símbolo "∪" se coloca antes de otros símbolos (en lugar de entre ellos), generalmente se representa en un tamaño más grande.

Codificación de notación

En Unicode , la unión se representa mediante el carácter U+222A ∪ UNION . ^[12] En TeX , se representa desde y se representa desde . ${\displaystyle \cup }$\cup ${\textstyle \bigcup }$\bigcup

Véase también

• Portal de matemáticas

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Alternancia (teoría del lenguaje formal)  : en la teoría del lenguaje formal y la coincidencia de patrones, la unión de dos conjuntos de cadenas o patrones Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa− la unión de conjuntos de cadenas
• Axioma de unión  : concepto en la teoría de conjuntos axiomáticos
• Unión disjunta  – En matemáticas, operación sobre conjuntos
• Principio de inclusión-exclusión  – Técnica de conteo en combinatoria
• Intersección (teoría de conjuntos)  : Conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos.
• Operación binaria iterada  : aplicación repetida de una operación a una secuencia
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Teoría de conjuntos ingenua  – Teorías de conjuntos informales
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Unión". Wolfram Mathworld. Archivado desde el original el 7 de febrero de 2009. Consultado el 14 de julio de 2009 .
2. "Operaciones con conjuntos | Unión | Intersección | Complemento | Diferencia | Mutuos excluyentes | Particiones | Ley de De Morgan | Ley distributiva | Producto cartesiano". Curso de probabilidad . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
3. Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alexander (1 de enero de 2002). Teoría básica de conjuntos. American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314.
4. deHaan, Lex; Koppelaars, dibujo animado (25 de octubre de 2007). Matemáticas aplicadas para profesionales de bases de datos. Presione. ISBN 9781430203483.
5. Halmos, PR (27 de noviembre de 2013). Teoría de conjuntos ingenua. Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450.
6. "MathCS.org - Análisis real: Teorema 1.1.4: Leyes de De Morgan". mathcs.org . Consultado el 22 de octubre de 2024 .
7. Doerr, Al; Levasseur, Ken. Leyes ADS de la teoría de conjuntos.
8. "Álgebra de conjuntos - Wikipedia, la enciclopedia libre". www.umsl.edu . Consultado el 22 de octubre de 2024 .
9. Dasgupta, Abhijit (11 de diciembre de 2013). Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales. Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545.
10. "La unión finita de conjuntos finitos es finita". ProofWiki . Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2014. Consultado el 29 de abril de 2018 .
11. Smith, Douglas; Eggen, Maurice; Andre, Richard St (1 de agosto de 2014). Una transición a las matemáticas avanzadas . Cengage Learning. ISBN 9781285463261.
12. "El estándar Unicode, versión 15.0 – Operadores matemáticos – Rango: 2200–22FF" (PDF) . Unicode . pág. 3.

Enlaces externos

• "Unión de conjuntos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Unión e intersección infinitas en ProvenMath Las leyes de De Morgan demostradas formalmente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.