Dimensión de Hausdorff

Medida invariante de dimensión fractal.

Ejemplo de dimensiones no enteras. Las primeras cuatro iteraciones de la curva de Koch , donde después de cada iteración, todos los segmentos de línea originales se reemplazan por cuatro, cada uno de los cuales es una copia autosimilar que tiene 1/3 de la longitud del original. Un formalismo de la dimensión de Hausdorff utiliza el factor de escala (S = 3) y el número de objetos autosemejantes (N = 4) para calcular la dimensión, D, después de la primera iteración como D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1,26. ^[1]

En matemáticas , la dimensión de Hausdorff es una medida de rugosidad , o más específicamente, dimensión fractal , que fue introducida en 1918 por el matemático Felix Hausdorff . ^[2] Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff de un solo punto es cero, de un segmento de línea es 1, de un cuadrado es 2 y de un cubo es 3. Es decir, para conjuntos de puntos que definen una forma suave o una forma que tiene una pequeña cantidad de esquinas (las formas de la geometría y la ciencia tradicionales), la dimensión de Hausdorff es un número entero que concuerda con el sentido habitual de dimensión, también conocido como dimensión topológica . Sin embargo, también se han desarrollado fórmulas que permiten calcular la dimensión de otros objetos menos simples, donde, basándose únicamente en sus propiedades de escala y autosimilitud , se llega a la conclusión de que determinados objetos (incluidos los fractales ) no tienen dimensiones. -dimensiones enteras de Hausdorff. Debido a los importantes avances técnicos realizados por Abram Samoilovitch Besicovitch que permiten el cálculo de dimensiones para conjuntos muy irregulares o "ásperos", esta dimensión también se conoce comúnmente como dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Más concretamente, la dimensión de Hausdorff es un número dimensional asociado a un espacio métrico , es decir, un conjunto donde se definen las distancias entre todos los miembros. La dimensión se extrae de los números reales extendidos , a diferencia de la noción más intuitiva de dimensión, que no está asociada a espacios métricos generales y solo toma valores en los números enteros no negativos. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

En términos matemáticos, la dimensión de Hausdorff generaliza la noción de dimensión de un espacio vectorial real . Es decir, la dimensión de Hausdorff de un espacio producto interno de n dimensiones es igual a n . Esto subyace a la afirmación anterior de que la dimensión de Hausdorff de un punto es cero, de una línea es uno, etc., y que los conjuntos irregulares pueden tener dimensiones de Hausdorff no enteras. Por ejemplo, el copo de nieve de Koch que se muestra a la derecha está construido a partir de un triángulo equilátero; en cada iteración, los segmentos de línea que lo componen se dividen en 3 segmentos de longitud unitaria, el segmento medio recién creado se usa como base de un nuevo triángulo equilátero que apunta hacia afuera, y este segmento base luego se elimina para dejar un objeto final de la iteración. iteración de longitud unitaria de 4. ^[3] Es decir, después de la primera iteración, cada segmento de línea original ha sido reemplazado con N=4, donde cada copia autosimilar es 1/S = 1/3 de la longitud del original. ^[1] Dicho de otra manera, hemos tomado un objeto con dimensión euclidiana, D, y hemos reducido su escala lineal en 1/3 en cada dirección, de modo que su longitud aumenta a N=S ^D . ^[4] Esta ecuación se resuelve fácilmente para D, lo que produce la relación de logaritmos (o logaritmos naturales ) que aparecen en las figuras y proporciona, en el caso de Koch y otros fractales, dimensiones no enteras para estos objetos.

La dimensión de Hausdorff es una sucesora de la dimensión de conteo de cajas o de Minkowski-Bouligand, más simple, pero generalmente equivalente .

Intuición

El concepto intuitivo de dimensión de un objeto geométrico X es el número de parámetros independientes que uno necesita para seleccionar un punto único en su interior. Sin embargo, cualquier punto especificado por dos parámetros puede especificarse por uno, porque la cardinalidad del plano real es igual a la cardinalidad de la línea real (esto puede verse mediante un argumento que implica entrelazar los dígitos de dos números para producir un único número que codifica la misma información). El ejemplo de una curva que llena el espacio muestra que uno puede incluso mapear la línea real al plano real de manera sobreyectiva (tomando un número real en un par de números reales de manera que todos los pares de números estén cubiertos) y continuamente , de modo que un objeto unidimensional llena completamente un objeto de dimensiones superiores.

Cada curva que llena el espacio llega a algunos puntos varias veces y no tiene una inversa continua. Es imposible mapear dos dimensiones en una de manera continua y continuamente invertible. La dimensión topológica, también llamada dimensión de cobertura de Lebesgue , explica por qué. Esta dimensión es el mayor entero n tal que en cada cobertura de X por pequeñas bolas abiertas hay al menos un punto donde n  + 1 bolas se superponen. Por ejemplo, cuando se cubre una línea con intervalos abiertos cortos, algunos puntos deben cubrirse dos veces, dando una dimensión  n  = 1.

Pero la dimensión topológica es una medida muy burda del tamaño local de un espacio (tamaño cerca de un punto). Una curva que casi llena el espacio aún puede tener dimensión topológica uno, incluso si ocupa la mayor parte del área de una región. Un fractal tiene una dimensión topológica entera, pero en términos de la cantidad de espacio que ocupa, se comporta como un espacio de dimensiones superiores.

La dimensión de Hausdorff mide el tamaño local de un espacio teniendo en cuenta la distancia entre puntos, la métrica . Considere el número N ( r ) de bolas de radio como máximo r necesarias para cubrir X por completo. Cuando r es muy pequeño, N ( r ) crece polinomialmente con 1/ r . Para un X que se comporta suficientemente bien , la dimensión de Hausdorff es el número único d tal que N( r ) crece como 1/ r ^d cuando r se acerca a cero. Más precisamente, esto define la dimensión de conteo de cajas , que es igual a la dimensión de Hausdorff cuando el valor d es un límite crítico entre tasas de crecimiento que son insuficientes para cubrir el espacio y tasas de crecimiento que son sobreabundantes.

Para formas que son suaves o formas con un pequeño número de esquinas, las formas de la geometría y la ciencia tradicionales, la dimensión de Hausdorff es un número entero que concuerda con la dimensión topológica. Pero Benoit Mandelbrot observó que los fractales , conjuntos con dimensiones de Hausdorff no enteras, se encuentran en todas partes de la naturaleza. Observó que la idealización adecuada de la mayoría de las formas toscas que ves a tu alrededor no es en términos de formas idealizadas suaves, sino en términos de formas idealizadas fractales:

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, la corteza no es lisa ni los rayos viajan en línea recta. ^[5]

Para los fractales que ocurren en la naturaleza, la dimensión de Hausdorff y la de conteo de cajas coinciden. La dimensión del embalaje es otra noción similar que otorga el mismo valor para muchas formas, pero existen excepciones bien documentadas en las que todas estas dimensiones difieren. ^{[ ejemplos necesarios ]}

Definicion formal

Se llega a la definición formal de la dimensión de Hausdorff definiendo primero la medida de Hausdorff d-dimensional , un análogo de dimensión fraccionaria de la medida de Lebesgue . Primero, se construye una medida exterior : Sea un espacio métrico . Si y , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle d\in [0,\infty )}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

donde el mínimo se toma sobre todas las coberturas contables de . La medida exterior d-dimensional de Hausdorff se define entonces como , y la restricción del mapeo a conjuntos mensurables la justifica como una medida, llamada Medida de Hausdorff -dimensional. ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$

Dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff está definida por ${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.}$

Esto es lo mismo que el supremo del conjunto de tales cuya medida de Hausdorff es infinita (excepto que cuando este último conjunto de números está vacío, la dimensión de Hausdorff es cero). ${\displaystyle d\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

Contenido de Hausdorff

El contenido de Hausdorff ilimitado -dimensional se define por ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}}$

En otras palabras, tiene la construcción de la medida de Hausdorff donde se permite que los conjuntos de cobertura tengan tamaños arbitrariamente grandes (aquí usamos la convención estándar de ). ^[7] Tanto la medida de Hausdorff como el contenido de Hausdorff se pueden utilizar para determinar la dimensión de un conjunto, pero si la medida del conjunto es distinta de cero, sus valores reales pueden no coincidir. ${\displaystyle C_{H}^{d}(S)}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

Ejemplos

Dimensión de otro ejemplo fractal . El triángulo de Sierpinski , un objeto con dimensión de Hausdorff de log(3)/log(2)≈1,58. ^[4]

• Los conjuntos contables tienen dimensión de Hausdorff 0. ^[8]
• El espacio euclidiano tiene dimensión de Hausdorff y el círculo tiene dimensión de Hausdorff 1. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Los fractales suelen ser espacios cuya dimensión de Hausdorff excede estrictamente la dimensión topológica . ^[5] Por ejemplo, el conjunto de Cantor , un espacio topológico de dimensión cero , es una unión de dos copias de sí mismo, cada copia reducida en un factor 1/3; por tanto, se puede demostrar que su dimensión de Hausdorff es ln(2)/ln(3) ≈ 0,63. ^[9] El triángulo de Sierpinski es una unión de tres copias de sí mismo, cada copia reducida por un factor de 1/2; esto produce una dimensión de Hausdorff de ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. ^[1] Estas dimensiones de Hausdorff están relacionadas con el "exponente crítico" del teorema de Master para resolver relaciones de recurrencia en el análisis de algoritmos .
• Las curvas que llenan espacios como la curva de Peano tienen la misma dimensión de Hausdorff que el espacio que llenan.
• Se conjetura que la trayectoria del movimiento browniano en la dimensión 2 y superiores es la dimensión 2 de Hausdorff. ^[10]

Estimación de la dimensión Hausdorff de la costa de Gran Bretaña

• Lewis Fry Richardson ha realizado experimentos detallados para medir la dimensión aproximada de Hausdorff para varias costas. Sus resultados han variado desde 1,02 para la costa de Sudáfrica hasta 1,25 para la costa oeste de Gran Bretaña . ^[5]

Propiedades de la dimensión de Hausdorff

Dimensión de Hausdorff y dimensión inductiva.

Sea X un espacio métrico separable arbitrario. Existe una noción topológica de dimensión inductiva para X que se define de forma recursiva. Siempre es un número entero (o +∞) y se denota tenue ₍ X ) .

Teorema . Supongamos que X no está vacío. Entonces

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).}$

Además,

${\displaystyle \inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),}$

donde Y abarca espacios métricos homeomorfos a X . En otras palabras, X e Y tienen el mismo conjunto subyacente de puntos y la métrica d _Y de Y es topológicamente equivalente a d _X.

Estos resultados fueron establecidos originalmente por Edward Szpilrajn (1907-1976), por ejemplo, véase Hurewicz y Wallman, Capítulo VII. ^{[ se necesita cita completa ]}

Dimensión de Hausdorff y dimensión de Minkowski

La dimensión de Minkowski es similar y al menos tan grande como la dimensión de Hausdorff, y son iguales en muchas situaciones. Sin embargo, el conjunto de puntos racionales en [0, 1] tiene dimensión cero de Hausdorff y dimensión uno de Minkowski. También hay conjuntos compactos para los cuales la dimensión de Minkowski es estrictamente mayor que la dimensión de Hausdorff.

Dimensiones de Hausdorff y medidas de Frostman.

Si hay una medida μ definida en subconjuntos de Borel de un espacio métrico X tal que μ ( X ) > 0 y μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s se cumple para alguna constante s > 0 y para cada bola B ( x , r ) en X , luego atenuar _Haus ( X ) ≥ s . El lema de Frostman proporciona una inversa parcial . ^{[ cita necesaria ] [11]}

Comportamiento bajo sindicatos y productos.

Si es una unión finita o contable, entonces ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

Esto se puede verificar directamente a partir de la definición.

Si X e Y son espacios métricos no vacíos, entonces la dimensión de Hausdorff de su producto satisface ^[12]

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).}$

Esta desigualdad puede ser estricta. Es posible encontrar dos conjuntos de dimensión 0 cuyo producto tenga dimensión 1. ^[13] En la dirección opuesta, se sabe que cuando X e Y son subconjuntos de Borel de R ⁿ , la dimensión de Hausdorff de X × Y está acotada desde arriba por la dimensión de Hausdorff de X más la dimensión de embalaje superior de Y. Estos hechos se analizan en Mattila (1995).

Conjuntos autosemejantes

Muchos conjuntos definidos por una condición de autosimilitud tienen dimensiones que pueden determinarse explícitamente. Aproximadamente, un conjunto E es autosemejante si es el punto fijo de una transformación de conjunto valorado ψ, es decir ψ( E ) = E , aunque la definición exacta se da a continuación.

Teorema . Suponer

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}$

son cada uno un mapeo de contracción en R ⁿ con constante de contracción r _i < 1. Entonces hay un conjunto compacto no vacío único A tal que

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).}$

El teorema se deriva del teorema del punto fijo de mapeo contractivo de Stefan Banach aplicado al espacio métrico completo de subconjuntos compactos no vacíos de R ⁿ con la distancia de Hausdorff . ^[14]

La condición de conjunto abierto

Para determinar la dimensión del conjunto autosemejante A (en ciertos casos), necesitamos una condición técnica llamada condición de conjunto abierto (OSC) en la secuencia de contracciones ψ _i .

Existe un conjunto abierto V con cierre compacto, tal que

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

donde los conjuntos en unión de la izquierda son disjuntos por pares .

La condición de conjunto abierto es una condición de separación que garantiza que las imágenes ψ _i ( V ) no se superpongan "demasiado".

Teorema . Supongamos que se cumple la condición de conjunto abierto y cada ψ _i es una similitud, es decir, una composición de una isometría y una dilatación alrededor de algún punto. Entonces el único punto fijo de ψ es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es s donde s es la solución única de ^[15]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

El coeficiente de contracción de una similitud es la magnitud de la dilatación.

En general, un conjunto E que se transporta sobre sí mismo mediante un mapeo

${\displaystyle A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$

es autosemejante si y sólo si las intersecciones satisfacen la siguiente condición:

${\displaystyle H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,}$

donde s es la dimensión de Hausdorff de E y H ^s denota la medida de Hausdorff s-dimensional . Esto es claro en el caso de la junta de Sierpinski (las intersecciones son solo puntos), pero también es cierto en términos más generales:

Teorema . En las mismas condiciones que el teorema anterior, el único punto fijo de ψ es autosimilar.

Ver también

• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff Ejemplos de fractales deterministas, fractales aleatorios y naturales.
• Dimensión Assouad , otra variación de la dimensión fractal que, al igual que la dimensión de Hausdorff, se define mediante recubrimientos por bolas.
• Dimensión intrínseca
• Dimensión de embalaje
• Dimensión fractal

Referencias

1. MacGregor Campbell, 2013, "5.6 Scaling and the Hausdorff Dimension", en Annenberg Learner:MATHematics Illuminated , ver [1], consultado el 5 de marzo de 2015.
2. Gneiting, Tilmann; Ševčíková, Hana; Percival, Donald B. (2012). "Estimadores de la dimensión fractal: evaluación de la rugosidad de series temporales y datos espaciales". Ciencia estadística . 27 (2): 247–277. arXiv : 1101.1444 . doi :10.1214/11-STS370. S2CID  88512325.
3. Larry Riddle, 2014, "Sistemas de funciones iteradas clásicas: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (en línea), consulte [2], consultado el 5 de marzo de 2015.
4. Keith Clayton, 1996, "Fractals and the Fractal Dimension", Conceptos básicos de dinámica no lineal y caos (taller), reunión anual de la Sociedad para la Teoría del Caos en Psicología y Ciencias de la Vida, 28 de junio de 1996, Berkeley, California, ver [ 3], consultado el 5 de marzo de 2015.
5. Mandelbrot, Benoît (1982). La geometría fractal de la naturaleza . Apuntes de conferencias sobre matemáticas 1358. WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
6. Briggs, Jimmy; Tyree, Tim (3 de diciembre de 2016). «Medida Hausdorff» (PDF) . Universidad de Washington . Consultado el 3 de febrero de 2022 .
7. Farkas, Abel; Fraser, Jonathan (30 de julio de 2015). "Sobre la igualdad de la medida de Hausdorff y el contenido de Hausdorff". arXiv : 1411.0867 [matemáticas.MG].
8. Schleicher, Dierk (junio de 2007). "La dimensión Hausdorff, sus propiedades y sus sorpresas". El Mensual Matemático Estadounidense . 114 (6): 509–528. arXiv : matemáticas/0505099 . doi :10.1080/00029890.2007.11920440. ISSN  0002-9890. S2CID  9811750.
9. Halconero, Kenneth (2003). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas (2ª ed.). John Wiley e hijos .
10. Morteros, Peres (2010). Movimiento browniano . Prensa de la Universidad de Cambridge .
11. Este artículo de Wikipedia también analiza otras caracterizaciones útiles de la dimensión de Hausdorff. ^{[ se necesita aclaración ]}
12. Marstrand, JM (1954). "La dimensión de los conjuntos de productos cartesianos". Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 50 (3): 198–202. Código Bib : 1954PCPS...50..198M. doi :10.1017/S0305004100029236. S2CID  122475292.
13. Halconero, Kenneth J. (2003). Geometría fractal. Fundamentos y aplicaciones matemáticas . John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, Nueva Jersey.
14. Halconero, KJ ​​(1985). "Teorema 8.3". La geometría de los conjuntos fractales . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1.
15. Hutchinson, John E. (1981). "Fractales y autosemejanza". Universidad de Indiana. Matemáticas. J.​ 30 (5): 713–747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .

Otras lecturas

• Dodson, M. Mauricio; Kristensen, Simon (12 de junio de 2003). "Dimensión de Hausdorff y aproximación diofántica". Geometría fractal y aplicaciones: un jubileo de Benoît Mandelbrot . Actas de simposios de matemática pura. vol. 72, págs. 305–347. arXiv : matemáticas/0305399 . Código Bib : 2003 matemáticas ...... 5399D. doi :10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN 9780821836378. S2CID  119613948.
• Hurewicz, Witold ; Wallman, Henry (1948). Teoría de las dimensiones. Prensa de la Universidad de Princeton.
• E. Szpilrajn (1937). "La dimensión y la medida". Fundamentos Mathematicae . 28 : 81–9. doi : 10.4064/fm-28-1-81-89 .
• Marstrand, JM (1954). "La dimensión de los conjuntos de productos cartesianos". Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 50 (3): 198–202. Código Bib : 1954PCPS...50..198M. doi :10.1017/S0305004100029236. S2CID  122475292.
• Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-65595-8.
• AS Besicovitch (1929). "Sobre conjuntos lineales de puntos de dimensiones fraccionarias". Annalen Matemáticas . 101 (1): 161-193. doi :10.1007/BF01454831. S2CID  125368661.
• AS Besicovitch ; HD Ursell (1937). "Conjuntos de dimensiones fraccionarias". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 12 (1): 18-25. doi :10.1112/jlms/s1-12.45.18.
  Varias selecciones de este volumen se reimprimen en Edgar, Gerald A. (1993). Clásicos sobre fractales . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-58701-7.Ver capítulos 9,10,11
• F. Hausdorff (marzo de 1919). "Dimension und äußeres Maß" (PDF) . Annalen Matemáticas . 79 (1–2): 157–179. doi :10.1007/BF01457179. hdl :10338.dmlcz/100363. S2CID  122001234.
• Hutchinson, John E. (1981). "Fractales y autosemejanza". Universidad de Indiana. Matemáticas. J.​ 30 (5): 713–747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .
• Halconero, Kenneth (2003). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas (2ª ed.). John Wiley e hijos .

enlaces externos

• Dimensión de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas
• Medida de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas