En matemáticas , una aplicación de contracción , o contracción o contratista , en un espacio métrico ( M , d ) es una función f de M a sí misma, con la propiedad de que existe algún número real tal que para todo x e y en M ,
El valor más pequeño de k se llama constante de Lipschitz de f . Los mapas contractivos a veces se denominan mapas lipschitzianos . Si, en cambio, se cumple la condición anterior para k ≤ 1, entonces se dice que el mapeo es un mapeo no expansivo .
De manera más general, la idea de un mapeo contractivo se puede definir para mapas entre espacios métricos. Por lo tanto, si ( M , d ) y ( N , d' ) son dos espacios métricos, entonces es una aplicación contractiva si existe una constante tal que
para todo x e y en M .
Cada mapeo de contracción es continuo de Lipschitz y, por lo tanto, uniformemente continuo (para una función continua de Lipschitz, la constante k ya no es necesariamente menor que 1).
Un mapeo de contracción tiene como máximo un punto fijo . Además, el teorema del punto fijo de Banach establece que cada aplicación de contracción en un espacio métrico completo no vacío tiene un punto fijo único, y que para cualquier x en M la secuencia de funciones iteradas x , f ( x ), f ( f ( x )), f ( f ( f ( x ))), ... converge al punto fijo. Este concepto es muy útil para sistemas de funciones iteradas donde a menudo se utilizan asignaciones de contracción . El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y se utiliza en una prueba del teorema de la función inversa . [1]
Los mapeos de contracción juegan un papel importante en los problemas de programación dinámica . [2] [3]
Una aplicación no expansiva con se puede generalizar a una aplicación firmemente no expansiva en un espacio de Hilbert si lo siguiente se cumple para todos los x e y en :
dónde
Este es un caso especial de operadores no expansivos promediados con . [4] Una asignación firmemente no expansiva siempre es no expansiva, a través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
La clase de aplicaciones firmemente no expansivas está cerrada bajo combinaciones convexas , pero no bajo composiciones. [5] Esta clase incluye mapeos proximales de funciones semicontinuas inferiores, convexas y propias, por lo que también incluye proyecciones ortogonales sobre conjuntos convexos cerrados no vacíos . La clase de operadores firmemente no expansivos es igual al conjunto de resolutivos de operadores máximamente monótonos . [6] Sorprendentemente, si bien la iteración de mapas no expansivos no garantiza encontrar un punto fijo (por ejemplo, multiplicación por -1), la no expansividad firme es suficiente para garantizar la convergencia global a un punto fijo, siempre que exista un punto fijo. Más precisamente, si , entonces para cualquier punto inicial , iterar
produce convergencia a un punto fijo . Esta convergencia podría ser débil en un entorno de dimensión infinita. [5]
Un mapa de subcontratación o subcontratista es un mapa f en un espacio métrico ( M , d ) tal que
Si la imagen de un subcontratista f es compacta , entonces f tiene un punto fijo. [7]
En un espacio localmente convexo ( E , P ) con topología dada por un conjunto P de seminormas , se puede definir para cualquier p ∈ P una p -contracción como un mapa f tal que haya algún k p < 1 tal que p ( f ( x ) - f ( y )) ≤ k p p ( x - y ) . Si f es una p -contracción para todo p ∈ P y ( E , P ) es secuencialmente completa, entonces f tiene un punto fijo, dado como límite de cualquier secuencia x n +1 = f ( x n ), y si ( E , P ) es Hausdorff , entonces el punto fijo es único. [8]