Teorema de mapeo de contracción de Blackwell

Teorema matemático sobre los operadores

En matemáticas, el teorema de contracción de Blackwell proporciona un conjunto de condiciones suficientes para que un operador sea una contracción . Es ampliamente utilizado en áreas que dependen de la programación dinámica ya que facilita la prueba de existencia de puntos fijos. El resultado se debe a David Blackwell quien lo publicó ^[1] en 1965 en Annals of Mathematical Statistics .

Enunciado del teorema

Sea un operador definido sobre un espacio vectorial normado ordenado . es una aplicación de contracción con módulo si satisface ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \beta }$

1. ${\displaystyle (monotonicity)\quad u\leq v\implies Tu\leq Tv}$
2. ${\displaystyle (discounting)\quad T(u+c)\leq Tu+\beta c.}$

Prueba del teorema

Para todos y , . Las propiedades 1. y 2. implican que , por lo tanto, . La simetría se deduce de un argumento similar y demostramos que es una aplicación de contracción . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v\in X}$ ${\displaystyle u\leq v+||v-u||}$ ${\displaystyle T(u)\leq T(v+||v-u||)\leq T(v)+\beta ||v-u||}$ ${\displaystyle T(u)-T(v)\leq \beta ||v-u||}$ ${\displaystyle T}$

Aplicaciones

El problema de comer pastel

Un agente tiene acceso a un solo pastel durante toda su vida infinita. Tiene que decidir la forma óptima de consumirlo. Evalúa un plan de consumo, , utilizando una función de utilidad separable, , con un factor de descuento . Su problema se puede resumir como ${\displaystyle c_{t}}$ ${\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}{\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}}$ ${\displaystyle \beta \in (0,1)}$

${\displaystyle \max _{c_{t}}\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}{\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}{\text{ subject to }}x_{t}=x_{t-1}-c_{t}{\text{, }}x_{-1}=0{\text{, }}c_{t}\geq 0{\text{ and }}x_{t}\geq 0\,\forall \,t\,\in \,\mathbb {Z} _{+}}$. ( 1 )

Aplicando el principio de optimalidad de Bellman encontramos la ecuación de Bellman correspondiente a ( 1 )

${\displaystyle V(c)=\max _{c'}{\frac {c^{1-\sigma }}{1-\sigma }}+\beta V(c')}$. ( 2 )

Se puede demostrar que la solución de esta ecuación funcional, si existe, es equivalente a la solución de ( 1 ). ^[2] Para demostrar su existencia podemos recurrir a las condiciones suficientes de Blackwell.

Defina el operador . Una solución para ( 2 ) es equivalente a encontrar un punto fijo para nuestro operador. Si demostramos que este operador es una aplicación de contracción, entonces podemos usar el teorema del punto fijo de Banach y concluir que efectivamente hay una solución para ( 1 ). ${\displaystyle T(V(c))=\max _{c'}{\frac {c^{1-\sigma }}{1-\sigma }}+\beta V(c')}$

En primer lugar, observemos que se define sobre el espacio de funciones acotadas ya que para todos los planes de consumo factibles, . Al dotarlo de la sup-norma concluimos que el dominio y el co-dominio son espacios vectoriales normados ordenados. Solo nos queda verificar que se respetan las condiciones del teorema de Blackwell: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}{\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}\leq \sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}{\frac {1^{1-\sigma }}{1-\sigma }}={\frac {1}{(1-\beta )(1-\sigma )}}<\infty }$

1. (monotonía) entonces ${\displaystyle {\text{if }}V(c)\geq U(c)\,\forall \,c\,\in \,[0,1]}$ ${\displaystyle T(V(c))=\max _{c'}{\frac {c^{1-\sigma }}{1-\sigma }}+\beta V(c')\geq \max _{c'}{\frac {c^{1-\sigma }}{1-\sigma }}+\beta U(c')=T(U(c))}$
2. (descontando) donde es una función constante. ${\displaystyle T(V(c)+a)=\max _{c'}{\frac {c^{1-\sigma }}{1-\sigma }}+\beta (V(c')+a)\leq \max _{c'}{\frac {c^{1-\sigma }}{1-\sigma }}+\beta V(c')+\beta a=T(V(c))+\beta a}$ ${\displaystyle a}$

Referencias

1. Blackwell, David. “Programación dinámica descontada”. The Annals of Mathematical Statistics 36, núm. 1 (1965): 226–35. R, http://www.jstor.org/stable/2238089. Consultado el 15 de agosto de 2022.
2. Stokey, Nancy L., Robert E. Lucas y Edward C. Prescott. Métodos recursivos en dinámica económica. Harvard University Press, 1989. https://doi.org/10.2307/j.ctvjnrt76.