Teorema del punto fijo de Banach

Theorem about metric spaces

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Banach (también conocido como teorema de mapeo de contracción o teorema de mapeo contractivo o teorema de Banach-Caccioppoli ) es una herramienta importante en la teoría de espacios métricos ; garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertos automapas de espacios métricos y proporciona un método constructivo para encontrar esos puntos fijos. Puede entenderse como una formulación abstracta del método de aproximaciones sucesivas de Picard . ^[1] El teorema lleva el nombre de Stefan Banach (1892-1945), quien lo expresó por primera vez en 1922. ^{[2] [3]}

Declaración

Definición. Sea un espacio métrico . Entonces un mapa se llama mapeo de contracción en X si existe tal que ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle q\in [0,1)}$

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}$

para todos ${\displaystyle x,y\in X.}$

Teorema del punto fijo de Banach. Sea un espacio métrico completo no vacío con un mapeo de contracción. Entonces T admite un punto fijo único en X (es decir ). Además, se puede encontrar de la siguiente manera: comience con un elemento arbitrario y defina una secuencia con for Then . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle T:X\to X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}$

Observación 1. Las siguientes desigualdades son equivalentes y describen la velocidad de convergencia :

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$

Cualquier valor de q se denomina constante de Lipschitz para , y el más pequeño a veces se denomina "la mejor constante de Lipschitz" de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Observación 2. para todos en general no es suficiente asegurar la existencia de un punto fijo, como lo muestra el mapa ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$

que carece de un punto fijo. Sin embargo, si es compacto , entonces esta suposición más débil implica la existencia y unicidad de un punto fijo, que puede encontrarse fácilmente como un minimizador de , de hecho, un minimizador existe por compacidad y tiene que ser un punto fijo de entonces fácilmente. Se deduce que el punto fijo es el límite de cualquier secuencia de iteraciones de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,T(x))}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle T.}$

Observación 3. Cuando se utiliza el teorema en la práctica, la parte más difícil suele ser definirlo adecuadamente de modo que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(X)\subseteq X.}$

Prueba

Seamos arbitrarios y definamos una secuencia configurando . Primero observamos que para todos tenemos la desigualdad ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

Esto se sigue por inducción en n , utilizando el hecho de que T es un mapeo de contracción. Entonces podemos demostrar que es una secuencia de Cauchy . En particular, sea tal que : ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

Sea ε > 0 arbitrario. Dado que podemos encontrar un tamaño grande tal que ${\displaystyle q\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

Por lo tanto, eligiendo y mayor que podemos escribir: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

Esto prueba que la secuencia es de Cauchy. Por completitud de ( X , d ), la secuencia tiene un límite Además, debe haber un punto fijo de T : ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x^{*}\in X.}$ ${\displaystyle x^{*}}$

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

Como mapeo de contracción, T es continuo, por lo que estaba justificado llevar el límite dentro de T. Por último, T no puede tener más de un punto fijo en ( X , d ), ya que cualquier par de puntos fijos distintos p ₁ y p ₂ contradeciría la contracción de T :

${\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).}$

Aplicaciones

• Una aplicación estándar es la prueba del teorema de Picard-Lindelöf sobre la existencia y unicidad de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias . La solución buscada de la ecuación diferencial se expresa como un punto fijo de un operador integral adecuado en el espacio de funciones continuas bajo la norma uniforme . Luego se utiliza el teorema del punto fijo de Banach para demostrar que este operador integral tiene un punto fijo único.
• Una consecuencia del teorema del punto fijo de Banach es que las pequeñas perturbaciones de Lipschitz de la identidad son homeomorfismos de bi-lipschitz . Sea Ω un conjunto abierto de un espacio de Banach E ; Sea I  : Ω → E el mapa de identidad (inclusión) y sea g  : Ω → E un mapa de Lipschitz de constante k < 1. Entonces

1. Ω′ := ( I + g )(Ω) es un subconjunto abierto de E : precisamente, para cualquier x en Ω tal que B ( x , r ) ⊂ Ω se tiene B (( I + g )( x ), r (1 − k )) ⊂ Ω′;
2. I + g  : Ω → Ω′ es un homeomorfismo bi-Lipschitz;

Precisamente, ( I + g ) ⁻¹ todavía tiene la forma I + h  : Ω → Ω′ con h un mapa de Lipschitz de constante k /(1 −  k ). Una consecuencia directa de este resultado es la prueba del teorema de la función inversa .

• Puede utilizarse para proporcionar condiciones suficientes bajo las cuales se garantice el funcionamiento del método de aproximaciones sucesivas de Newton, y de manera similar para el método de tercer orden de Chebyshev.
• Puede utilizarse para demostrar la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones integrales.
• Puede utilizarse para demostrar el teorema de incrustación de Nash . ^[4]
• Se puede utilizar para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para la iteración de valores, la iteración de políticas y la evaluación de políticas del aprendizaje por refuerzo . ^[5]
• Puede utilizarse para demostrar la existencia y unicidad de un equilibrio en la competencia de Cournot , ^[6] y otros modelos económicos dinámicos. ^[7]

conversos

Existen varios recíprocos del principio de contracción de Banach. A Czesław Bessaga, de 1959, se le debe lo siguiente:

Sea f  : X → X un mapa de un conjunto abstracto tal que cada iteración f ⁿ tenga un punto fijo único. Entonces , exista una métrica completa en X tal que f es contractiva y q es la constante de contracción. ${\displaystyle q\in (0,1),}$

De hecho, bastan supuestos muy débiles para obtener tal tipo de recíproco. Por ejemplo, si es un mapa en un espacio topológico T 1 con un punto fijo único a , tal que para cada uno tenemos f ⁿ ( x ) → a , entonces ya existe una métrica en X con respecto a la cual f satisface las condiciones de el principio de contracción de Banach con constante de contracción 1/2. ^[8] En este caso la métrica es de hecho una ultramétrica . ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Generalizaciones

Hay una serie de generalizaciones (algunas de las cuales son corolarios inmediatos ). ^[9]

Sea T  : X → X un mapa en un espacio métrico completo no vacío. Entonces, por ejemplo, algunas generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach son:

• Supongamos que alguna iteración T ⁿ de T es una contracción. Entonces T tiene un único punto fijo.
• Supongamos que para cada n , existe c _n tal que d ( T ⁿ ( x ), T ⁿ ( y )) ≤ c _n d ( x , y ) para todos x e y , y que

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

Entonces T tiene un único punto fijo.

En aplicaciones, la existencia y unicidad de un punto fijo a menudo se puede demostrar directamente con el teorema estándar del punto fijo de Banach, mediante una elección adecuada de la métrica que hace que el mapa T sea una contracción. De hecho, el resultado anterior de Bessaga sugiere fuertemente buscar dicha métrica. Consulte también el artículo sobre teoremas del punto fijo en espacios de dimensión infinita para generalizaciones.

Una clase diferente de generalizaciones surge de generalizaciones adecuadas de la noción de espacio métrico , por ejemplo, debilitando los axiomas que definen la noción de métrica. ^[10] Algunos de ellos tienen aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de la semántica de programación en la informática teórica. ^[11]

Ejemplo de aplicación numérica: cálculo de alta precisión π

El teorema de Banach permite, por ejemplo, un cálculo rápido y preciso del número π utilizando las funciones trigonométricas que numéricamente son la serie de potencias de Taylor .

Porque y el π es el punto fijo de por ejemplo la función ${\displaystyle \sin(\pi )=0}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x)+x}$

es decir

${\displaystyle f(\pi )=\pi }$

y también la función está alrededor de π el mapeo de contracción por razones obvias porque su derivada en π desaparece, por lo tanto π se puede obtener de la superposición infinita, por ejemplo para el valor del argumento 3: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \pi =f(f(f(\cdots f(3)\cdots ))))}$

Ya la triple superposición de esta función en da π con una precisión de 33 dígitos: ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\ldots \,.}$

Ver también

• Teorema del punto fijo de Brouwer
• Teorema del punto fijo de Caristi
• Mapeo de contracción
• Principio de existencia de Fichera.
• iteración de punto fijo
• Teoremas del punto fijo
• Composiciones infinitas de funciones analíticas.
• teorema de Kantorovich

Notas

1. Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980). "Desigualdades variacionales en RN". Una introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones . Nueva York: Academic Press. págs. 7–22. ISBN 0-12-407350-6.
2. Banach, Stefan (1922). "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 3 : 133–181. doi :10.4064/fm-3-1-133-181. Archivado (PDF) desde el original el 7 de junio de 2011.
3. Ciesielski, Krzysztof (2007). "Sobre Stefan Banach y algunos de sus resultados" (PDF) . Banach J. Matemáticas. Anal . 1 (1): 1–10. doi : 10.15352/bjma/1240321550 . Archivado (PDF) desde el original el 30 de mayo de 2009.
4. Günther, Matías (1989). "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [Sobre el teorema de incrustación de J. Nash]. Mathematische Nachrichten (en alemán). 144 : 165–187. doi :10.1002/mana.19891440113. SEÑOR  1037168.
5. Lewis, Frank L.; Vrabie, Draguna; Syrmos, Vassilis L. (2012). "Aprendizaje por refuerzo y control adaptativo óptimo". Control Óptimo . Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 461–517 [pág. 474]. ISBN 978-1-118-12272-3.
6. Largo, Ngo Van; Soubeyran, Antoine (2000). "Existencia y singularidad del equilibrio de Cournot: un enfoque de mapeo de contracción" (PDF) . Cartas de Economía . 67 (3): 345–348. doi :10.1016/S0165-1765(00)00211-1. Archivado (PDF) desde el original el 30 de diciembre de 2004.
7. Stokey, Nancy L .; Lucas, Robert E. Jr. (1989). Métodos recursivos en dinámica económica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Harvard. págs. 508–516. ISBN 0-674-75096-9.
8. Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony K. (2001). "Una 'conversación' del teorema de mapeo de contracción de Banach". Revista de Ingeniería Eléctrica . 52 (10/s): 3–6.
9. Latif, Abdul (2014). "Principio de contracción de Banach y sus generalizaciones". Temas de la teoría del punto fijo . Saltador. págs. 33–64. doi :10.1007/978-3-319-01586-6_2. ISBN 978-3-319-01585-9.
10. Hitzler, Pascal ; Seda, Antonio (2010). Aspectos matemáticos de la semántica de la programación lógica . Chapman y Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-2961-5.
11. Seda, Anthony K.; Hitzler, Pascal (2010). "Funciones de distancia generalizadas en la teoría de la computación". La revista informática . 53 (4): 443–464. doi : 10.1093/comjnl/bxm108.

Referencias

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Principio y aplicaciones de la contracción de Banach". Teoría del punto fijo en espacios métricos . Singapur: Springer. págs. 1–23. doi :10.1007/978-981-13-2913-5_1. ISBN 978-981-13-2912-8.
• Chicone, Carmen (2006). "Contracción". Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones (2ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 121-135. ISBN 0-387-30769-9.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teoría del punto fijo . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Teoría del punto fijo: una introducción . Países Bajos: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7.Véase el capítulo 7.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . Nueva York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

Este artículo incorpora material del teorema del punto fijo de Banach en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .