Norma uniforme

Función en el análisis matemático

El perímetro del cuadrado es el conjunto de puntos en ℝ ² donde la norma sup es igual a una constante positiva fija. Por ejemplo, los puntos (2, 0) , (2, 1) y (2, 2) se encuentran a lo largo del perímetro de un cuadrado y pertenecen al conjunto de vectores cuya norma sup es 2.

En el análisis matemático , la norma uniforme (osup norm ) asigna afunciones acotadasdevalorrealocomplejodefinidasen unconjuntoelnúmero nonegativo ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

Esta norma también se llamanorma suprema ,laNorma de Chebyshev ,lanorma de infinito ,o, cuando elsupremoes de hecho el máximo, lanorma máxima . El nombre "norma uniforme" deriva del hecho de que una secuencia de funciones⁠⁠ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$converge a⁠⁠ ${\displaystyle f}$bajo lamétricaderivada de la norma uniformesi y solo si ⁠⁠ ${\displaystyle f_{n}}$converge a⁠⁠ ${\displaystyle f}$ uniformemente.^[1]

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es una función continua en un intervalo cerrado y acotado , o más generalmente un conjunto compacto , entonces está acotado y el supremo en la definición anterior se alcanza mediante el teorema de valores extremos de Weierstrass , por lo que podemos reemplazar el supremo por el máximo. En este caso, la norma también se llamanorma máxima . En particular, si⁠⁠ ${\displaystyle x}$es un vector tal queenun espacio de coordenadasde dimensiónfinita, toma la forma: ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

Esto se llama -norma . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Definición

Las normas uniformes se definen, en general, para funciones acotadas que tienen valores en un espacio normado . Sea un conjunto y sea un espacio normado . En el conjunto de funciones de a , existe una norma extendida definida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].}$

En general, se trata de una norma extendida, ya que la función puede no estar acotada. Restringir esta norma extendida a las funciones acotadas (es decir, las funciones con valores finitos por encima de la norma extendida) produce una norma (de valores finitos), llamada norma uniforme en . Nótese que la definición de norma uniforme no depende de ninguna estructura adicional en el conjunto , aunque en la práctica suele ser al menos un espacio topológico . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La convergencia en la topología inducida por la norma extendida uniforme es la convergencia uniforme , para secuencias, y también para redes y filtros en . ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Podemos definir conjuntos cerrados y clausuras de conjuntos con respecto a esta topología métrica; los conjuntos cerrados en la norma uniforme a veces se denominan uniformemente cerrados y las clausuras clausuras uniformes . La clausura uniforme de un conjunto de funciones A es el espacio de todas las funciones que pueden aproximarse mediante una secuencia de funciones uniformemente convergentes en Por ejemplo, una reformulación del teorema de Stone-Weierstrass es que el conjunto de todas las funciones continuas en es la clausura uniforme del conjunto de polinomios en ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Para funciones continuas complejas sobre un espacio compacto, esto lo convierte en un álgebra C* (cf. Representación de Gelfand ).

Estructuras más débiles que inducen la topología de convergencia uniforme

Métrica uniforme

La métrica uniforme entre dos funciones acotadas de un conjunto a un espacio métrico se define por ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

La métrica uniforme también se denominaMétrica de Chebyshev , porPafnuty Chebyshev, quien fue el primero en estudiarla sistemáticamente. En este caso,está acotada precisamente sies finita para algunafunción constante. Si permitimos funciones ilimitadas, esta fórmula no produce una norma o métrica en sentido estricto, aunque la denominadamétrica extendidatodavía permite definir una topología en el espacio de funciones en cuestión; la convergencia sigue siendo entonces laconvergencia uniforme. En particular, una sucesiónconverge uniformementea una funciónsi y solo si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d(f,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,}$$

Si es un espacio normado , entonces es un espacio métrico de manera natural. La métrica extendida en inducida por la norma uniforme extendida es la misma que la métrica uniforme extendida ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}}$

en ${\displaystyle Y^{X}}$

Uniformidad de convergencia uniforme

Sea un conjunto y sea un espacio uniforme . Se dice que una sucesión de funciones de a converge uniformemente a una función si para cada entorno hay un número natural tal que, pertenece a siempre que y . Lo mismo ocurre con una red. Esta es una convergencia en una topología en . De hecho, los conjuntos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}_{Y}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle \{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}}$

donde recorre los séquitos de forma un sistema fundamental de séquitos de una uniformidad en , llamada uniformidad de convergencia uniforme en . La convergencia uniforme es precisamente la convergencia bajo su topología uniforme. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Si es un espacio métrico , entonces está equipado por defecto con la uniformidad métrica. La uniformidad métrica en con respecto a la métrica extendida uniforme es entonces la uniformidad de convergencia uniforme en . ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Propiedades

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista  ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

La razón del subíndice “ ” es que siempre que es continua y para algún , entonces donde es el dominio de ; la integral equivale a una suma si es un conjunto discreto (ver p -norma ). ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$ ${\displaystyle p\in (0,\infty )}$ $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Véase también

• L-infinito  – Espacio de sucesiones acotadas
• Continuidad uniforme  – Restricción uniforme del cambio de funciones
• Espacio uniforme  – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
• Distancia de Chebyshev  – Métrica matemática

Referencias

1. Rudin, Walter (1964). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. pp. 151. ISBN. 0-07-054235-X.