L-infinito

Espacio de sucesiones acotadas

En matemáticas , , el espacio vectorial (real o complejo) de sucesiones acotadas con la norma suprema , y ​​, el espacio vectorial de funciones medibles esencialmente acotadas con la norma suprema esencial , son dos espacios de Banach estrechamente relacionados . De hecho, el primero es un caso especial del segundo. Como espacio de Banach, son el dual continuo de los espacios de Banach de sucesiones absolutamente sumables y de funciones medibles absolutamente integrables (si el espacio de medida cumple las condiciones de ser localizable y, por lo tanto, semifinito). ^[1] La multiplicación puntual les da la estructura de un álgebra de Banach y, de hecho, son los ejemplos estándar de álgebras de von Neumann abelianas . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle L^{1}=L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$

Espacio de secuencia

El espacio vectorial es un espacio de sucesiones cuyos elementos son las sucesiones acotadas . Las operaciones del espacio vectorial, suma y multiplicación escalar, se aplican coordenada a coordenada. Con respecto a la norma es un ejemplo estándar de espacio de Banach . De hecho, puede considerarse como el espacio con mayor . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Este espacio es el espacio dual fuerte de : de hecho, cada define un funcional continuo en el espacio de secuencias absolutamente sumables mediante la multiplicación y suma de componentes: ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle x\in \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ^{\infty }&\to ({\ell ^{1}})'\\x&\mapsto \left(y\mapsto \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\right)\end{aligned}}}$

Al evaluar on vemos que toda función lineal continua on surge de esta manera, es decir ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle ({\ell ^{1}})^{'}=\ell ^{\infty }}$

Sin embargo, no toda función lineal continua en surge de una serie absolutamente sumable en y, por lo tanto, no es un espacio de Banach reflexivo . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Espacio funcional

${\displaystyle L^{\infty }}$es un espacio funcional . Sus elementos son las funciones medibles esencialmente acotadas . ^[2]

Más precisamente, se define en base a un espacio de medida subyacente , comenzando con el conjunto de todas las funciones mensurables desde hasta que están esencialmente acotadas , es decir, acotadas excepto en un conjunto de medida cero. Se identifican dos de estas funciones si son iguales casi en todas partes. Denote el conjunto resultante por ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{\infty }(S,\mu ).}$

Para una función de este conjunto, su supremo esencial sirve como norma apropiada: Esta norma es la norma uniforme , es una norma para ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}.}$$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=\infty .}$

El espacio de secuencias es un caso especial del espacio de funciones: donde los números naturales están dotados de la medida de conteo. ${\displaystyle \ell ^{\infty }=L^{\infty }(\mathbb {N} )}$

Aplicaciones

Una aplicación de y es en economía , particularmente en el estudio de economías con infinitos productos. ^[3] En modelos económicos simples, es común suponer que solo hay un número finito de productos diferentes, por ejemplo, casas, frutas, automóviles, etc., por lo que cada paquete puede representarse mediante un vector finito, y el conjunto de consumo es un espacio vectorial con una dimensión finita. Pero en realidad, el número de productos diferentes puede ser infinito. Por ejemplo, una "casa" no es un único tipo de producto, ya que el valor de una casa depende de su ubicación. Por lo tanto, el número de productos diferentes es el número de ubicaciones diferentes, que puede considerarse infinito. En este caso, el conjunto de consumo está representado naturalmente por ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$

Véase también

• Norma uniforme  – Función en el análisis matemático
• Distancia de Chebyshev  – Métrica matemática

Referencias

1. "Teoría de conjuntos elementales: ¿Por qué todo espacio de medida localizable es un espacio de medida semifinito?".
2. Brezis, Haim (2010). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales . Springer. pág. 91. ISBN. 978-0-387-70913-0.
3. Bewley, TF (1972). "Existencia de equilibrios en economías con infinitos productos". Journal of Economic Theory . 4 (3): 514–540. doi :10.1016/0022-0531(72)90136-6.