En matemáticas , la distancia de Chebyshev (o distancia de Tchebychev ), métrica máxima o métrica L ∞ [1] es una métrica definida en un espacio de coordenadas real donde la distancia entre dos puntos es la mayor de sus diferencias a lo largo de cualquier dimensión de coordenadas. [2] Lleva el nombre de Pafnuty Chebyshev .
También se conoce como distancia del tablero , ya que en el juego de ajedrez el número mínimo de movimientos que necesita un rey para pasar de una casilla de un tablero a otra es igual a la distancia de Chebyshev entre los centros de las casillas, si las casillas tienen longitud de lado. uno, como se representa en coordenadas espaciales 2-D con ejes alineados con los bordes del tablero. [3] Por ejemplo, la distancia de Chebyshev entre f6 y e2 es igual a 4.
La distancia de Chebyshev entre dos vectores o puntos x e y , con coordenadas estándar y , respectivamente, es
Esto es igual al límite de las métricas L p :
de ahí que también se la conozca como métrica L ∞ .
Matemáticamente, la distancia de Chebyshev es una métrica inducida por la norma suprema o norma uniforme . Es un ejemplo de métrica inyectiva .
En dos dimensiones, es decir, en geometría plana , si los puntos p y q tienen coordenadas cartesianas y , su distancia de Chebyshev es
Según esta métrica, un círculo de radio r , que es el conjunto de puntos con una distancia de Chebyshev r desde un punto central, es un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 2 r y son paralelos a los ejes de coordenadas.
En un tablero de ajedrez, donde se utiliza una distancia de Chebyshev discreta , en lugar de una continua, el círculo de radio r es un cuadrado de longitud de lado 2 r, que se mide desde los centros de los cuadrados y, por lo tanto, cada lado contiene 2 r +1 cuadrados. ; por ejemplo, el círculo de radio 1 en un tablero de ajedrez es un cuadrado de 3×3.
En una dimensión, todas las métricas de L p son iguales: son simplemente el valor absoluto de la diferencia.
La distancia bidimensional de Manhattan tiene "círculos", es decir, conjuntos de niveles en forma de cuadrados, con lados de longitud √ 2 r , orientados en un ángulo de π/4 (45°) con respecto a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia plana de Chebyshev puede ser visto como equivalente por rotación y escala a (es decir, una transformación lineal de) la distancia plana de Manhattan.
Sin embargo, esta equivalencia geométrica entre las métricas L 1 y L ∞ no se generaliza a dimensiones superiores. Una esfera formada usando la distancia de Chebyshev como métrica es un cubo con cada cara perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, pero una esfera formada usando la distancia de Manhattan es un octaedro : estos son poliedros duales , pero entre los cubos, solo el cuadrado (y 1 -segmento de línea dimensional) son politopos autoduales . Sin embargo, es cierto que en todos los espacios de dimensión finita las métricas L 1 y L ∞ son matemáticamente duales entre sí.
En una cuadrícula (como un tablero de ajedrez), los puntos a una distancia de Chebyshev de 1 de un punto son la vecindad de Moore de ese punto.
La distancia de Chebyshev es el caso límite de la distancia de orden-Minkowski , cuando llega al infinito .
La distancia de Chebyshev se utiliza a veces en la logística de almacenes , [4] ya que mide efectivamente el tiempo que tarda una grúa puente en mover un objeto (ya que la grúa puede moverse en los ejes x e y al mismo tiempo pero a la misma velocidad a lo largo de cada uno). eje).
También es muy utilizado en aplicaciones electrónicas de Fabricación Asistida por Computadora (CAM) , en particular, en algoritmos de optimización para éstas. Muchas herramientas, como máquinas trazadoras o perforadoras, fotoplotters , etc. que funcionan en el avión, suelen estar controladas por dos motores en las direcciones x e y, similares a los puentes grúa. [5]
Para el espacio de secuencia de secuencias de longitud infinita de números reales o complejos, la distancia de Chebyshev se generaliza a la norma ; esta norma a veces se denomina norma Chebyshev. Para el espacio de funciones (reales o de valores complejos), la distancia de Chebyshev se generaliza a la norma uniforme .
