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Norma uniforme

El perímetro del cuadrado es el conjunto de puntos en 2 donde la norma sup es igual a una constante positiva fija. Por ejemplo, los puntos (2, 0) , (2, 1) y (2, 2) se encuentran a lo largo del perímetro de un cuadrado y pertenecen al conjunto de vectores cuya norma sup es 2.

En el análisis matemático , la norma uniforme (osup norm ) asigna afunciones acotadasdevalorrealocomplejodefinidasen unconjuntoelnúmero nonegativo

Esta norma también se llamanorma suprema ,laNorma de Chebyshev ,lanorma de infinito ,o, cuando elsupremoes de hecho el máximo, lanorma máxima . El nombre "norma uniforme" deriva del hecho de que una secuencia de funciones⁠⁠converge a⁠⁠bajo lamétricaderivada de la norma uniformesi y solo si ⁠⁠converge a⁠⁠ uniformemente.[1]

Si ⁠ ⁠ es una función continua en un intervalo cerrado y acotado , o más generalmente un conjunto compacto , entonces está acotado y el supremo en la definición anterior se alcanza mediante el teorema de valores extremos de Weierstrass , por lo que podemos reemplazar el supremo por el máximo. En este caso, la norma también se llamanorma máxima . En particular, si⁠⁠es un vector tal queenun espacio de coordenadasde dimensiónfinita, toma la forma:

Esto se llama -norma .

Definición

Las normas uniformes se definen, en general, para funciones acotadas que tienen valores en un espacio normado . Sea un conjunto y sea un espacio normado . En el conjunto de funciones de a , existe una norma extendida definida por

En general, se trata de una norma extendida, ya que la función puede no estar acotada. Si se restringe esta norma extendida a las funciones acotadas (es decir, las funciones con valores finitos por encima de la norma extendida), se obtiene una norma (de valores finitos), denominada norma uniforme en . Nótese que la definición de norma uniforme no depende de ninguna estructura adicional en el conjunto , aunque en la práctica suele ser al menos un espacio topológico .

La convergencia en la topología inducida por la norma extendida uniforme es la convergencia uniforme , para secuencias, y también para redes y filtros en .

Podemos definir conjuntos cerrados y clausuras de conjuntos con respecto a esta topología métrica; los conjuntos cerrados en la norma uniforme a veces se denominan uniformemente cerrados y las clausuras clausuras uniformes . La clausura uniforme de un conjunto de funciones A es el espacio de todas las funciones que pueden aproximarse mediante una secuencia de funciones uniformemente convergentes en Por ejemplo, una reformulación del teorema de Stone-Weierstrass es que el conjunto de todas las funciones continuas en es la clausura uniforme del conjunto de polinomios en

Para funciones continuas complejas sobre un espacio compacto, esto lo convierte en un álgebra C* (cf. Representación de Gelfand ).

Estructuras más débiles que inducen la topología de convergencia uniforme

Métrica uniforme

La métrica uniforme entre dos funciones acotadas de un conjunto a un espacio métrico se define por

La métrica uniforme también se denominaMétrica de Chebyshev , porPafnuty Chebyshev, quien fue el primero en estudiarla sistemáticamente. En este caso,está acotada precisamente sies finita para algunafunción constante. Si permitimos funciones ilimitadas, esta fórmula no produce una norma o métrica en sentido estricto, aunque la denominadamétrica extendidatodavía permite definir una topología en el espacio de funciones en cuestión; la convergencia sigue siendo entonces laconvergencia uniforme. En particular, una sucesiónconverge uniformementea una funciónsi y solo si

Si es un espacio normado , entonces es un espacio métrico de manera natural. La métrica extendida en inducida por la norma uniforme extendida es la misma que la métrica uniforme extendida

en

Uniformidad de convergencia uniforme

Sea un conjunto y sea un espacio uniforme . Se dice que una sucesión de funciones de a converge uniformemente a una función si para cada entorno hay un número natural tal que, pertenece a siempre que y . Lo mismo ocurre con una red. Esta es una convergencia en una topología en . De hecho, los conjuntos

donde recorre los séquitos de forma un sistema fundamental de séquitos de una uniformidad en , llamada uniformidad de convergencia uniforme en . La convergencia uniforme es precisamente la convergencia bajo su topología uniforme.

Si es un espacio métrico , entonces está equipado por defecto con la uniformidad métrica. La uniformidad métrica en con respecto a la métrica extendida uniforme es entonces la uniformidad de convergencia uniforme en .

Propiedades

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista 

La razón del subíndice “ ” es que siempre que es continua y para algún , entonces donde es el dominio de ; la integral equivale a una suma si es un conjunto discreto (ver p -norma ).

Véase también

Referencias

  1. ^ Rudin, Walter (1964). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. pp. 151. ISBN. 0-07-054235-X.