Técnicas de prueba de convergencia

Las técnicas de prueba de convergencia son componentes canónicos de las pruebas matemáticas de que secuencias o funciones convergen a un límite finito cuando el argumento tiende al infinito.

Hay muchos tipos de series y modos de convergencia que requieren diferentes técnicas. A continuación se muestran algunos de los ejemplos más comunes. Este artículo pretende ser una introducción destinada a ayudar a los profesionales a explorar las técnicas apropiadas. Los enlaces a continuación brindan detalles de las condiciones necesarias y generalizaciones para configuraciones más abstractas. La convergencia de series ya se trata en el artículo sobre pruebas de convergencia .

Convergencia en R n

Es común querer demostrar la convergencia de una sucesión o función , donde y se refiere a los números naturales y a los números reales , y la convergencia es respecto de la norma euclidiana ,. ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle ||\cdot ||_{2}}$

Los enfoques útiles para esto son los siguientes.

Primeros principios

La definición analítica de convergencia de a un límite es que ^[1] para todos existe un tal para todos ,. La técnica de prueba más básica es encontrarla y demostrar la desigualdad requerida. Si el valor de no se conoce de antemano, las técnicas siguientes pueden resultar útiles. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\infty }}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k>k_{0}}$ ${\displaystyle \|f(k)-f_{\infty }\|<\epsilon }$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle f_{\infty }}$

Mapeos de contracción

En muchos casos, la función cuya convergencia es de interés tiene la forma de alguna transformación . Por ejemplo, podría asignarse a alguna matriz conformable . Alternativamente, puede ser una operación elemento a elemento, como reemplazar cada elemento por la raíz cuadrada de su magnitud. ${\displaystyle f(k+1)=T(f(k))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle f(k+1)=Af(k)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(k)}$

En tales casos, si el problema satisface las condiciones del teorema del punto fijo de Banach (el dominio es un espacio métrico completo no vacío ), entonces es suficiente demostrar que para alguna constante fija para todos y . Esto se llama mapeo de contracción . La composición de dos mapeos de contracción es un mapeo de contracción, por lo que si , entonces es suficiente mostrar que y son ambos mapeos de contracción. ${\displaystyle \|T(x)-T(y)\|<\|k(x-y)\|}$ ${\displaystyle |k|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T_{1}\circ T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Ejemplo

Un ejemplo famoso del uso de este enfoque incluye

• Si tiene la forma para algunas matrices y , entonces la convergencia ocurre si las magnitudes de todos los valores propios de son menores que 1 ^{[ cita requerida ]} . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(x)=Ax+B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (I-A)^{-1}B}$ ${\displaystyle A}$

Mapeos sin expansión

Si ambas desigualdades anteriores son débiles ( ), el mapeo es un mapeo sin expansión. No es suficiente que sea un mapeo sin expansión. Por ejemplo, es un mapeo sin expansión, pero la secuencia no converge. Sin embargo, la composición de un mapeo de contracción y un mapeo de no expansión (o viceversa) es un mapeo de contracción. ${\displaystyle k\leq 1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(x)=-x}$

Mapeos de contracción en dominios limitados

Si no es un mapeo de contracción en todo su dominio, sino en su codominio (la imagen del dominio), eso también es suficiente para la convergencia. Esto también se aplica a las descomposiciones. Por ejemplo, considere . La función no es un mapeo de contracción, pero está en el dominio restringido , que es el codominio de argumentos reales. Dado que es un mapeo de no expansión, esto implica que es un mapeo de contracción. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(x)=\cos(\sin(x))}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle T}$

Subsecuencias convergentes

Cada secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente, según el teorema de Bolzano-Weierstrass . Si todos tienen el mismo límite, entonces la secuencia original converge a ese límite. Si se puede demostrar que todas las subsecuencias de tienen el mismo límite, por ejemplo mostrando que hay un punto fijo único de la transformación , entonces la secuencia inicial también debe converger a ese límite. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$

Monotonicidad (funciones de Lyapunov)

Toda secuencia monótona acotada converge hacia un límite ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Este enfoque también se puede aplicar a secuencias que no son monótonas. En cambio, es posible definir una función que sea monótona en . Si satisface las condiciones para ser una función de Lyapunov, entonces es convergente. El teorema de Lyapunov normalmente se establece para ecuaciones diferenciales ordinarias , pero también se puede aplicar a secuencias de iteraciones reemplazando derivadas con diferencias discretas. ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V(f(n))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

Los requisitos básicos son que ${\displaystyle V}$

1. ${\displaystyle V(f(n+1))-V(f(n))<0}$para y (o para ) ${\displaystyle f(n)\neq 0}$ ${\displaystyle V(0)=0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$
2. ${\displaystyle V(x)>0}$para todos y ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle V(0)=0}$
3. ${\displaystyle V}$ser "radialmente ilimitado", por lo que va al infinito para cualquier secuencia que tienda al infinito. ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle \|x\|}$

En muchos casos se puede encontrar una función de Lyapunov de la forma, aunque también se utilizan formas más complejas. ${\displaystyle V(x)=x^{T}Ax}$

Para las ecuaciones diferenciales de retardo , se aplica un enfoque similar con funciones de Lyapunov reemplazadas por funcionales de Lyapunov, también llamados funcionales de Lyapunov-Krasovskii.

Si la desigualdad en la condición 1 es débil, se puede utilizar el principio de invariancia de LaSalle .

Convergencia de secuencias de funciones.

Para considerar la convergencia de secuencias de funciones, ^[2] es necesario definir una distancia entre funciones para reemplazar la norma euclidiana. Estos a menudo incluyen

• Convergencia en la norma (convergencia fuerte): una norma de función, tal como se define, y la convergencia ocurre si . Para este caso, todas las técnicas anteriores se pueden aplicar con esta función norma. ${\textstyle \|g\|_{f}=\int _{x\in A}\|g(x)\|dx}$ ${\displaystyle ||f(n)-f_{\infty }||_{f}\rightarrow 0}$
• Convergencia puntual : la convergencia ocurre si para cada uno , . Para este caso, las técnicas anteriores se pueden aplicar para cada punto con la norma adecuada . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$
• Convergencia uniforme : en la convergencia puntual, algunas regiones (abiertas) pueden converger arbitrariamente lentamente. Con convergencia uniforme, existe una tasa de convergencia fija tal que todos los puntos convergen al menos a esa velocidad. Formalmente, ¿dónde está el dominio de cada uno ? ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f_{\infty }(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{n}}$

Ver también

• Convergencia de series de Fourier

Convergencia de variables aleatorias

Las variables aleatorias ^[3] son ​​más complicadas que los elementos simples de . (Formalmente, una variable aleatoria es un mapeo de un espacio de eventos a un espacio de valores . El espacio de valores puede ser , como la tirada de un dado, y a menudo se habla informalmente de dicha variable aleatoria como si estuviera en , pero convergencia de secuencia de variables aleatorias corresponde a la convergencia de la secuencia de funciones , o las distribuciones , en lugar de la secuencia de valores ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x:\Omega \rightarrow V}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Existen múltiples tipos de convergencia , dependiendo de cómo se mida la distancia entre funciones.

• Convergencia en la distribución : convergencia puntual de las funciones de distribución de las variables aleatorias hasta el límite.
• Convergencia en probabilidad
• Convergencia casi segura : convergencia puntual de las asignaciones hasta el límite, excepto en un conjunto con medida 0 en el límite. ${\displaystyle x_{n}:\Omega \rightarrow V}$ ${\displaystyle \Omega }$
• Convergencia en la media

Cada uno tiene sus propias técnicas de prueba, que están más allá del alcance actual de este artículo.

Ver también

• Convergencia dominada
• El teorema de Carleson que establece la convergencia puntual (Lebesgue) en casi todas partes de la serie de Fourier de funciones L2
• Teoremas de convergencia de la martingala de Doob, un análogo de variable aleatoria del teorema de convergencia monótona

Convergencia topológica

Para todas las técnicas anteriores, se aplica alguna forma de la definición analítica básica de convergencia anterior. Sin embargo, la topología tiene su propia definición de convergencia. Por ejemplo, en un espacio que no es de Hausdorff, es posible que una secuencia converja a múltiples límites diferentes.

Referencias

1. Ross, Kenneth. Análisis elemental: la teoría del cálculo . Saltador.
2. Haase, Markus. Análisis funcional: una introducción elemental . Sociedad Estadounidense de Matemáticas .
3. Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y Medida . Juan Wesley .