Medida vectorial

En matemáticas , una medida vectorial es una función definida sobre una familia de conjuntos y que toma valores vectoriales que satisfacen ciertas propiedades. Es una generalización del concepto de medida finita , que solo toma valores reales no negativos .

Definiciones y primeras consecuencias

Dado un cuerpo de conjuntos y un espacio de Banach, un vector finitamente aditivo medida (o medida , para abreviar) es una función tal que para cualesquiera dos conjuntos disjuntos y en uno tiene ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$

Una medida vectorial se llama contablemente aditiva si para cualquier secuencia de conjuntos disjuntos en tales que su unión está en se cumple que con la serie en el lado derecho convergente en la norma del espacio de Banach ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle \mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$$ ${\displaystyle X.}$

Se puede demostrar que una medida vectorial aditiva es contablemente aditiva si y solo si para cualquier secuencia como la anterior se tiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$

¿Dónde está la norma? ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X.}$

Las medidas vectoriales aditivas contables definidas en sigma-álgebras son más generales que las medidas finitas , las medidas finitas con signo y las medidas complejas , que son funciones aditivas contables que toman valores respectivamente en el intervalo real , el conjunto de números reales y el conjunto de números complejos . ${\displaystyle [0,\infty ),}$

Ejemplos

Consideremos el campo de conjuntos formado por el intervalo junto con la familia de todos los conjuntos medibles de Lebesgue contenidos en este intervalo. Para cualquier conjunto de este tipo, definamos donde es la función indicadora de Dependiendo de que se declare que donde toma valores, se observan dos resultados diferentes. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu ,}$visto como una función del -espacio es una medida vectorial que no es contablemente aditiva. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]),}$
• ${\displaystyle \mu ,}$visto como una función del espacio es una medida vectorial contablemente aditiva. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$

Ambas afirmaciones se desprenden con bastante facilidad del criterio ( * ) enunciado anteriormente.

La variación de una medida vectorial

Dada una medida vectorial, la variación de se define como donde el supremo se toma sobre todas las particiones de en un número finito de conjuntos disjuntos, para todos en Aquí, es la norma en ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$$ $${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X.}$

La variación de es una función finitamente aditiva que toma valores en Se cumple que para cualquier en Si es finito, se dice que la medida es de variación acotada . Se puede demostrar que si es una medida vectorial de variación acotada, entonces es contablemente aditiva si y solo si es contablemente aditiva. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty ].}$ $${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\mu |}$

Teorema de Lyapunov

En la teoría de medidas vectoriales, el teorema de Lyapunov establece que el rango de una medida vectorial de dimensión finita ( no atómica ) es cerrado y convexo . ^{[1] [2] [3]} De hecho, el rango de una medida vectorial no atómica es un zonoide (el conjunto cerrado y convexo que es el límite de una secuencia convergente de zonotopos ). ^[2] Se utiliza en economía , ^{[4] [5] [6]} en la teoría de control ( "bang-bang" ) , ^{[1] [3] [7] [8]} y en la teoría estadística . ^[8] El teorema de Lyapunov se ha demostrado utilizando el lema de Shapley-Folkman , ^[9] que se ha visto como un análogo discreto del teorema de Lyapunov. ^{[8] [10] [11]}

Véase también

• Función medible de Bochner
• Integral de Bochner  : generalización de la integral de Lebesgue a funciones con valores en el espacio de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de Bochner  – Tipo de espacio topológico
• Medida compleja  – Medida con valores complejos
• Medida con signo  – Noción generalizada de medida en matemáticas
• Funciones con valores vectoriales  : funciones con valores en un espacio vectorial, normalmente reales o complejos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Función débilmente medible

Referencias

1. Kluvánek, I. , Knowles, G., Medidas vectoriales y sistemas de control , North-Holland Mathematics Studies  20 , Ámsterdam, 1976.
2. Diestel, Joe; Uhl, Jerry J. Jr. (1977). Medidas vectoriales . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1515-6.
3. Rolewicz, Stefan (1987). Análisis funcional y teoría de control: sistemas lineales . Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este). Vol. 29 (traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Editorial científica polaca. págs. xvi+524. ISBN 90-277-2186-6. Sr.  0920371. OCLC  13064804.
4. Roberts, John (julio de 1986). "Grandes economías". En David M. Kreps ; John Roberts ; Robert B. Wilson (eds.). Contribuciones al New Palgrave (PDF) . Documento de investigación. Vol. 892. Palo Alto, CA: Graduate School of Business, Stanford University. pp. 30–35. (Borrador de artículos para la primera edición del New Palgrave Dictionary of Economics ) . Consultado el 7 de febrero de 2011 .
5. Aumann, Robert J. (enero de 1966). "Existencia de equilibrio competitivo en mercados con un continuo de comerciantes". Econometrica . 34 (1): 1–17. doi :10.2307/1909854. JSTOR  1909854. MR  0191623. S2CID  155044347.Este artículo se basa en dos artículos de Aumann:

   Aumann, Robert J. (enero-abril de 1964). "Mercados con un continuo de comerciantes". Econometrica . 32 (1–2): 39–50. doi :10.2307/1913732. JSTOR  1913732. MR  0172689.

   Aumann, Robert J. (agosto de 1965). "Integrales de funciones con valores de conjunto". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 12 (1): 1–12. doi :10.1016/0022-247X(65)90049-1. MR  0185073.

6. Vind, Karl (mayo de 1964). "Asignaciones de Edgeworth en una economía de intercambio con muchos comerciantes". International Economic Review . Vol. 5, núm. 2. págs. 165–77. JSTOR  2525560.El artículo de Vind fue señalado por Debreu (1991, p. 4) con este comentario:

   El concepto de conjunto convexo (es decir, un conjunto que contiene el segmento que conecta dos de sus puntos) había sido colocado repetidamente en el centro de la teoría económica antes de 1964. Apareció bajo una nueva luz con la introducción de la teoría de la integración en el estudio de la competencia económica: Si uno asocia con cada agente de una economía un conjunto arbitrario en el espacio de las mercancías y si uno promedia esos conjuntos individuales sobre una colección de agentes insignificantes, entonces el conjunto resultante es necesariamente convexo . [Debreu añade esta nota al pie: "Sobre esta consecuencia directa de un teorema de A. A. Lyapunov, véase Vind (1964)".] Pero las explicaciones de las ... funciones de los precios ... pueden basarse en la convexidad de los conjuntos derivados por ese proceso de promediado . La convexidad en el espacio de las mercancías obtenida por agregación sobre una colección de agentes insignificantes es una idea que la teoría económica debe ... a la teoría de la integración. [ Cursiva añadida ]

   Debreu, Gérard (marzo de 1991). "La matematización de la teoría económica". The American Economic Review . Vol. 81, número 1, núm. Discurso presidencial pronunciado en la 103.ª reunión de la American Economic Association, 29 de diciembre de 1990, Washington, DC. pp. 1–7. JSTOR  2006785.

7. Hermes, Henry; LaSalle, Joseph P. (1969). Análisis funcional y control óptimo del tiempo . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. Vol. 56. Nueva York—Londres: Academic Press. pp. viii+136. MR  0420366.
8. Artstein, Zvi (1980). "Espacios bang-bang y faciales discretos y continuos, o: buscar los puntos extremos". SIAM Review . 22 (2): 172–185. doi :10.1137/1022026. JSTOR  2029960. MR  0564562.
9. Tardella, Fabio (1990). "Una nueva prueba del teorema de convexidad de Lyapunov". Revista SIAM sobre Control y Optimización . 28 (2): 478–481. doi :10.1137/0328026. MR  1040471.
10. Starr, Ross M. (2008). "Teorema de Shapley-Folkman". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda edición). Palgrave Macmillan. págs. 317–318. doi :10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.
11. Página 210: Mas-Colell, Andreu (1978). "Una nota sobre el teorema de equivalencia de núcleo: ¿cuántas coaliciones de bloqueo existen?". Journal of Mathematical Economics . 5 (3): 207–215. doi :10.1016/0304-4068(78)90010-1. MR  0514468.

Bibliografía

• Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Teoría de la medida (edición reimpresa). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag . pp. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1.Zbl 0436.28001  .
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J. Jr. (1977). Medidas vectoriales . Encuestas Matemáticas. vol. 15. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
• Kluvánek, I. , Knowles, G, Medidas vectoriales y sistemas de control , North-Holland Mathematics Studies  20 , Ámsterdam, 1976.
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Medidas vectoriales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rudin, W (1973). Análisis funcional . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 114. ISBN. 9780070542259.