Integral de Bochner

En matemáticas , la integral de Bochner , llamada así por Salomon Bochner , extiende la definición de la integral de Lebesgue a las funciones que toman valores en un espacio de Banach , como el límite de las integrales de funciones simples .

Definición

Sea un espacio de medida , y un espacio de Banach . La integral de Bochner de una función se define de forma muy similar a la integral de Lebesgue. En primer lugar, definamos una función simple como cualquier suma finita de la forma donde son miembros disjuntos del -álgebra son elementos distintos de y χ _E es la función característica de Si es finito siempre que la función simple sea integrable , y la integral se define entonces por exactamente como lo es para la integral de Lebesgue ordinaria. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to B}$ $${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i},}$$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle \mu \left(E_{i}\right)}$ ${\displaystyle b_{i}\neq 0,}$ $${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$$

Una función medible es integrable según el método de Bochner si existe una secuencia de funciones simples integrables tales que la integral del lado izquierdo es una integral de Lebesgue ordinaria. ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle s_{n}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0,}$$

En este caso, la integral de Bochner se define por $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu .}$$

Se puede demostrar que la secuencia es una secuencia de Cauchy en el espacio de Banach , por lo tanto, existe el límite a la derecha; además, el límite es independiente de la secuencia de aproximación de funciones simples . Estas observaciones muestran que la integral está bien definida (es decir, es independiente de cualquier elección). Se puede demostrar que una función es integrable en Bochner si y solo si se encuentra en el espacio de Bochner. ${\displaystyle \left\{\int _{X}s_{n}\,d\mu \right\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle L^{1}.}$

Propiedades

Propiedades elementales

Muchas de las propiedades conocidas de la integral de Lebesgue siguen siendo válidas para la integral de Bochner. Particularmente útil es el criterio de Bochner para la integrabilidad, que establece que si es un espacio de medida, entonces una función medible por Bochner es integrable por Bochner si y solo si ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ $${\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu <\infty .}$$

Aquí, una función  se llama medible de Bochner si es igual -casi en todas partes- a una función que toma valores en un subespacio separable de , y tal que la imagen inversa de cada conjunto abierto  en  pertenece a . De manera equivalente, es el límite -casi en todas partes- de una secuencia de funciones simples con valores numerables. ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

Operadores lineales

Si es un operador lineal continuo entre espacios de Banach y , y es integrable según Bochner, entonces es relativamente sencillo demostrar que es integrable según Bochner y la integración y la aplicación de pueden intercambiarse: para todos los subconjuntos medibles . ${\displaystyle T\colon B\to B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

Una forma no trivialmente más fuerte de este resultado, conocida como teorema de Hille , también se cumple para operadores cerrados . ^[1] Si es un operador lineal cerrado entre espacios de Banach y y ambos y son integrables según Bochner, entonces para todos los subconjuntos mensurables . ${\displaystyle T\colon B\to B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle Tf\colon X\to B'}$ $${\displaystyle \int _{E}Tf\,\mathrm {d} \mu =T\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

Teorema de convergencia dominada

Una versión del teorema de convergencia dominada también es válida para la integral de Bochner. En concreto, si es una secuencia de funciones mensurables en un espacio de medida completo que tiende casi en todas partes a una función límite , y si para casi todos , y , entonces como y para todos . ${\displaystyle f_{n}\colon X\to B}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f_{n}(x)\|_{B}\leq g(x)}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$ $${\displaystyle \int _{E}\|f-f_{n}\|_{B}\,\mathrm {d} \mu \to 0}$$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,\mathrm {d} \mu \to \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$

Si es integrable según Bochner, entonces la desigualdad se cumple para todos En particular, la función de conjunto define una medida vectorial con valores aditivos contables en la que es absolutamente continua con respecto a . ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left\|\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma .}$ $${\displaystyle E\mapsto \int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedad de Radon-Nikodym

Un hecho importante sobre la integral de Bochner es que el teorema de Radon-Nikodym no se cumple en general, y en cambio es una propiedad (la propiedad de Radon-Nikodym ) que define una clase importante de espacios de Banach ″agradables″.

En concreto, si es una medida en entonces tiene la propiedad de Radon-Nikodym con respecto a si, para cada vector contablemente aditivo medida en con valores en los que tiene variación acotada y es absolutamente continuo con respecto a hay una función -integrable tal que para cada conjunto medible ^[2] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle g:X\to B}$ $${\displaystyle \gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu }$$ ${\displaystyle E\in \Sigma .}$

El espacio de Banach tiene la propiedad de Radon-Nikodym si tiene la propiedad de Radon-Nikodym con respecto a cada medida finita. ^[2] Las formulaciones equivalentes incluyen: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

• Las martingalas de tiempo discreto acotado convergen como ^[3] ${\displaystyle B}$
• Las funciones de variación acotada son diferenciables en ae ^[4] ${\displaystyle B}$
• Para cada α acotado , existe y tal que tiene un diámetro arbitrariamente pequeño. ^[3] ${\displaystyle D\subseteq B}$ ${\displaystyle f\in B^{*}}$ ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle \{x:f(x)+\delta >\sup {f(D)}\}\subseteq D}$$

Se sabe que el espacio tiene la propiedad de Radon-Nikodym, pero y los espacios para un subconjunto abierto y acotado de y para un espacio compacto infinito, no la tienen. ^[5] Los espacios con la propiedad de Radon-Nikodym incluyen espacios duales separables (este es el teorema de Dunford-Pettis ) ^{[ cita requerida ]} y espacios reflexivos , que incluyen, en particular, espacios de Hilbert . ^[2] ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ),}$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega ),}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K}$

Véase también

• Espacio de Bochner  – Tipo de espacio topológico
• Función medible de Bochner
• Integral de Pettis
• Medida vectorial
• Función débilmente medible

Referencias

1. Diestel, Joseph; Uhl, Jr., John Jerry (1977). Medidas vectoriales . Encuestas matemáticas. Sociedad matemática estadounidense. doi :10.1090/surv/015.(Véase el Teorema II.2.6)
2. Bárcenas, Diómedes (2003). "El teorema de radón-Nikodym para espacios reflexivos de Banach" (PDF) . Divulgaciones Matemáticas . 11 (1): 55–59 [págs. 55–56].
3. Bourgin 1983, págs. 31, 33. Thm. 2.3.6-7, condiciones (1,4,10).
4. Bourgin 1983, p. 16. "Los primeros investigadores de este campo se interesaron por la propiedad del espacio de Banach según la cual cada función de variación acotada con valor X en [0,1] es diferenciable casi con seguridad. Resulta que esta propiedad (conocida como propiedad de Gelfand-Fréchet) también es equivalente a la RNP [propiedad de Radon-Nikodym]".
5. Bourgin 1983, pág. 14.

• Bochner, Salomon (1933), "Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
• Bourgin, Richard D. (1983). Aspectos geométricos de conjuntos convexos con la propiedad de Radon-Nikodým . Lecture Notes in Mathematics 993. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0069321. ISBN 3-540-12296-6.
• Cohn, Donald (2013), Teoría de la medida , Textos avanzados de Birkhäuser Basler Lehrbücher, Springer, doi :10.1007/978-1-4614-6956-8, ISBN 978-1-4614-6955-1
• Yosida, Kôsaku (1980), Análisis funcional , Classics in Mathematics, vol. 123, Springer, doi :10.1007/978-3-642-61859-8, ISBN 978-3-540-58654-8
• Diestel, Joseph (1984), Secuencias y series en espacios de Banach , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 92, Springer, doi :10.1007/978-1-4612-5200-9, ISBN 978-0-387-90859-5
• Diestel; Uhl (1977), Medidas vectoriales, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1515-1
• Hille, Einar; Phillips, Ralph (1957), Análisis funcional y semigrupos , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1031-6
• Lang, Serge (1993), Análisis real y funcional (3.ª ed.), Springer, ISBN 978-0387940014
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Integral de Bochner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Medidas vectoriales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press