Medida vectorial

En matemáticas , una medida vectorial es una función definida sobre una familia de conjuntos y que toma valores vectoriales que satisfacen ciertas propiedades. Es una generalización del concepto de medida finita , que toma únicamente valores reales no negativos .

Definiciones y primeras consecuencias

Dado un campo de conjuntos y un espacio de Banach, una medida vectorial finitamente aditiva (o medida , para abreviar) es una función tal que para dos conjuntos disjuntos cualesquiera y en uno tiene ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$

Una medida vectorial se llama contablemente aditiva si para cualquier secuencia de conjuntos disjuntos en los que su unión está en ella se cumple que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle \mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$$

serienorma ${\displaystyle X.}$

Se puede demostrar que una medida de vector aditivo es contablemente aditiva si y sólo si para cualquier secuencia como la anterior se tiene ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$

¿Dónde está la norma? ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X.}$

Las medidas vectoriales contablemente aditivas definidas en sigma-álgebras son más generales que las medidas finitas , las medidas finitas con signo y las medidas complejas , que son funciones contablemente aditivas que toman valores respectivamente en el intervalo real , el conjunto de números reales y el conjunto de números complejos . ${\displaystyle [0,\infty ),}$

Ejemplos

Considere el campo de conjuntos formado por el intervalo junto con la familia de todos los conjuntos mensurables de Lebesgue contenidos en este intervalo. Para cualquier conjunto de este tipo, defina ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A,}$

$${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$$

función indicadora ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu ,}$visto como una función desde al espacio es una medida vectorial que no es contablemente aditiva. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]),}$
• ${\displaystyle \mu ,}$visto como una función desde al espacio es una medida vectorial contablemente aditiva. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$

Ambas afirmaciones se derivan bastante fácilmente del criterio ( * ) establecido anteriormente.

La variación de una medida vectorial.

Dada una medida vectorial, la variación de se define como ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$$

supremoparticiones

$${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X.}$

La variación de es una función finitamente aditiva que toma valores en Se sostiene que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,\infty ].}$

$${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$$

variación acotada ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\mu |}$

Teorema de Lyapunov

En la teoría de las medidas vectoriales, el teorema de Lyapunov establece que el rango de una medida vectorial ( no atómica ) de dimensión finita es cerrado y convexo . ^{[1] [2] [3]} De hecho, el rango de una medida vectorial no atómica es una zonoide (el conjunto cerrado y convexo que es el límite de una secuencia convergente de zonotopos ). ^[2] Se utiliza en economía , ^{[4] [5] [6]} en ( "bang-bang" ) teoría del control , ^{[1] [3] [7] [8]} y en teoría estadística . ^[8] El teorema de Lyapunov se ha demostrado utilizando el lema de Shapley-Folkman , ^[9] que se ha visto como un análogo discreto del teorema de Lyapunov. ^{[8] [10] [11]}

Ver también

• Función medible de Bochner
• integral de bochner
• Espacio de Bochner  - Tipo de espacio topológico
• Medida compleja  : medida con valores complejos
• Medida con signo  : noción generalizada de medida en matemáticas
• Funciones con valores vectoriales  : función valorada en un espacio vectorial; típicamente real o complejoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función débilmente medible

Referencias

1. Kluvánek, I. , Knowles, G., Sistemas de control y medidas vectoriales , Estudios de matemáticas de Holanda Septentrional  20 , Ámsterdam, 1976.
2. Diestel, Joe; Uhl, Jerry J. Jr. (1977). Medidas vectoriales . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-1515-6.
3. Rolewicz, Stefan (1987). Análisis funcional y teoría del control: Sistemas lineales . Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este). vol. 29 (Traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co.; PWN: editoriales científicas polacas. págs. xvi+524. ISBN 90-277-2186-6. SEÑOR  0920371. OCLC  13064804.
4. Roberts, John (julio de 1986). "Grandes economías". En David M. Kreps ; Juan Roberts ; Robert B. Wilson (eds.). Contribuciones al New Palgrave (PDF) . Trabajo de investigación. vol. 892. Palo Alto, CA: Escuela de Graduados en Negocios, Universidad de Stanford. págs. 30–35. (Borrador de artículos para la primera edición del Diccionario de Economía New Palgrave ) . Consultado el 7 de febrero de 2011 .
5. Aumann, Robert J. (enero de 1966). "Existencia de equilibrio competitivo en mercados con un continuo de comerciantes". Econométrica . 34 (1): 1–17. doi :10.2307/1909854. JSTOR  1909854. SEÑOR  0191623. S2CID  155044347.Este artículo se basa en dos artículos de Aumann:

   Aumann, Robert J. (enero-abril de 1964). "Mercados con un continuo de comerciantes". Econométrica . 32 (1–2): 39–50. doi :10.2307/1913732. JSTOR  1913732. SEÑOR  0172689.

   Aumann, Robert J. (agosto de 1965). "Integrales de funciones con valores establecidos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 12 (1): 1–12. doi :10.1016/0022-247X(65)90049-1. SEÑOR  0185073.

6. Vind, Karl (mayo de 1964). "Asignaciones de Edgeworth en una economía de intercambio con muchos comerciantes". Revista económica internacional . vol. 5, núm. 2. págs. 165–77. JSTOR  2525560.El artículo de Vind fue señalado por Debreu (1991, p. 4) con este comentario:

   El concepto de conjunto convexo (es decir, un conjunto que contiene el segmento que conecta dos puntos cualesquiera) había sido colocado repetidamente en el centro de la teoría económica antes de 1964. Apareció bajo una nueva luz con la introducción de la teoría de la integración en el estudio de Competencia económica: si se asocia con cada agente de una economía un conjunto arbitrario en el espacio de las mercancías y si se promedian esos conjuntos individuales sobre un conjunto de agentes insignificantes, entonces el conjunto resultante es necesariamente convexo . [Debreu añade esta nota a pie de página: "Sobre esta consecuencia directa de un teorema de A. A. Lyapunov, véase Vind (1964)".] Pero las explicaciones de las... funciones de los precios... pueden basarse en la convexidad de conjuntos derivados mediante ese proceso de promediación . La convexidad en el espacio de mercancías obtenida por agregación de un conjunto de agentes insignificantes es una idea que la teoría económica debe... a la teoría de la integración. [ Cursivas añadidas ]

   Debreu, Gérard (marzo de 1991). "La Matematización de la teoría económica". La revisión económica estadounidense . vol. 81, número 1, núm. Discurso presidencial pronunciado en la 103ª reunión de la Asociación Económica Estadounidense, 29 de diciembre de 1990, Washington, DC. págs. 1–7. JSTOR  2006785.

7. Hermes, Enrique; LaSalle, Joseph P. (1969). Análisis funcional y control óptimo del tiempo . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. vol. 56. Nueva York — Londres: Academic Press. págs. viii+136. SEÑOR  0420366.
8. Artstein, Zvi (1980). "Bang-bang y espacios faciales discretos y continuos, o: Busca los puntos extremos". Revisión SIAM . 22 (2): 172–185. doi :10.1137/1022026. JSTOR  2029960. SEÑOR  0564562.
9. Tardella, Fabio (1990). "Una nueva prueba del teorema de la convexidad de Lyapunov". Revista SIAM de Control y Optimización . 28 (2): 478–481. doi :10.1137/0328026. SEÑOR  1040471.
10. Starr, Ross M. (2008). "Teorema de Shapley-Folkman". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (eds.). Diccionario de economía New Palgrave (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 317–318. doi :10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.
11. Página 210: Mas-Colell, Andreu (1978). "Una nota sobre el teorema central de equivalencia: ¿Cuántas coaliciones de bloqueo hay?". Revista de Economía Matemática . 5 (3): 207–215. doi :10.1016/0304-4068(78)90010-1. SEÑOR  0514468.

Bibliografía

• Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Teoría de la medida (reimpresión ed.). Boston-Basilea-Stuttgart: Birkhäuser Verlag . págs.IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl  0436.28001.
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J. Jr. (1977). Medidas vectoriales . Encuestas Matemáticas. vol. 15. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
• Kluvánek, I. , Knowles, G, Sistemas de control y medidas vectoriales , Estudios de matemáticas de Holanda Septentrional  20 , Ámsterdam, 1976.
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Medidas vectoriales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rudin, W (1973). Análisis funcional . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 114.ISBN​ 9780070542259.