Teorema de Carleson

Resultado de 1966 en análisis matemático

El teorema de Carleson es un resultado fundamental en el análisis matemático que establece la convergencia puntual ( Lebesgue ) casi en todas partes de las series de Fourier de funciones L 2 , demostrada por Lennart Carleson  (1966). El nombre también se utiliza a menudo para referirse a la extensión del resultado de Richard Hunt  (1968) a funciones L ^p para p ∈ (1, ∞] (también conocido como el teorema de Carleson-Hunt ) y los resultados análogos para la convergencia puntual casi en todas partes de las integrales de Fourier , que se puede demostrar que son equivalentes mediante métodos de transferencia.

Enunciado del teorema

El resultado, tal como lo amplió Hunt, puede enunciarse formalmente de la siguiente manera:

Sea f una función periódica L ^p para algún p ∈ (1, ∞] , con coeficientes de Fourier . Luego, para casi todo  x . ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$$

El resultado análogo para las integrales de Fourier es:

Sea f ∈ L ^p ( R ) para algún p ∈ (1, 2] que tiene transformada de Fourier . Luego, para casi todo x ∈ R . ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =f(x)}$$

Historia

Una pregunta fundamental sobre las series de Fourier, planteada por el propio Fourier a principios del siglo XIX, es si la serie de Fourier de una función continua converge puntualmente a la función.

Si se refuerza ligeramente el supuesto de continuidad, se puede demostrar fácilmente que la serie de Fourier converge en todas partes. Por ejemplo, si una función tiene variación acotada , su serie de Fourier converge en todas partes al promedio local de la función. En particular, si una función es continuamente diferenciable, su serie de Fourier converge a ella en todas partes. Esto fue demostrado por Dirichlet, quien expresó su creencia de que pronto podría extender su resultado para cubrir todas las funciones continuas. Otra forma de obtener convergencia en todas partes es cambiar el método de suma. Por ejemplo, el teorema de Fejér muestra que si uno reemplaza la suma ordinaria por la suma de Cesàro , entonces la serie de Fourier de cualquier función continua converge uniformemente a la función. Además, es fácil demostrar que la serie de Fourier de cualquier función L ^{2 converge a ella en la norma} L ² .

Después del resultado de Dirichlet, varios expertos, entre ellos Dirichlet, Riemann, Weierstrass y Dedekind, manifestaron su creencia de que la serie de Fourier de cualquier función continua convergería en todas partes. Esto fue refutado por Paul du Bois-Reymond , quien demostró en 1876 que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en un punto .

La convergencia casi omnipresente de las series de Fourier para funciones L ² fue postulada por NN Luzin  (1915), y el problema se conoció como la conjetura de Luzin (hasta su demostración por Carleson (1966)). Kolmogorov (1923) demostró que el análogo del resultado de Carleson para L ¹ es falso al encontrar una función cuya serie de Fourier diverge casi en todas partes (mejorada ligeramente en 1926 a divergente en todas partes). Antes del resultado de Carleson, la estimación mejor conocida para las sumas parciales s _n de la serie de Fourier de una función en L ^p era En otras palabras, la función s _n (x) todavía puede crecer hasta el infinito en cualquier punto dado x a medida que se toman en cuenta más y más términos de la serie de Fourier, aunque el crecimiento debe ser bastante lento (más lento que el logaritmo de n a una pequeña potencia). Este resultado fue demostrado por Kolmogorov–Seliverstov–Plessner para p = 2 , por GH Hardy para p = 1 , y por Littlewood–Paley para p > 1 (Zygmund 2002). Este resultado no había sido mejorado durante varias décadas, lo que llevó a algunos expertos a sospechar que era el mejor posible y que la conjetura de Luzin era falsa. El contraejemplo de Kolmogorov en L ¹ no estaba acotado en ningún intervalo, pero se pensaba que era solo cuestión de tiempo antes de que se encontrara un contraejemplo continuo. Carleson dijo en una entrevista con Raussen & Skau (2007) que comenzó tratando de encontrar un contraejemplo continuo y en un momento pensó que tenía un método que construiría uno, pero finalmente se dio cuenta de que su enfoque no podía funcionar. Luego trató de probar la conjetura de Luzin ya que el fracaso de su contraejemplo lo convenció de que probablemente era cierto. $${\displaystyle s_{n}(x)=o(\log(n)^{1/p}){\text{ almost everywhere}}.}$$

La prueba original de Carleson es excepcionalmente difícil de leer, y aunque varios autores han simplificado el argumento, todavía no hay pruebas fáciles de su teorema. Las exposiciones del artículo original de Carleson (1966) incluyen a Kahane (1995), Mozzochi (1971), Jørsboe y Mejlbro (1982) y Arias de Reyna (2002). Charles Fefferman  (1973) publicó una nueva prueba de la extensión de Hunt que procedía acotando un operador maximalista . Esto, a su vez, inspiró una prueba mucho más simplificada del resultado L ² por Michael Lacey y Christoph Thiele (2000), explicada con más detalle en Lacey (2004). Los libros Fremlin (2003) y Grafakos (2014) también dan pruebas del teorema de Carleson.

Katznelson (1966) demostró que para cualquier conjunto de medida 0 existe una función periódica continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos del conjunto (y posiblemente en cualquier otro lugar). Cuando se combina con el teorema de Carleson, esto demuestra que existe una función continua cuya serie de Fourier diverge en todos los puntos de un conjunto dado de números reales si y solo si el conjunto tiene medida 0.

La extensión del teorema de Carleson a L ^p para p > 1 se afirmó como una extensión "bastante obvia" del caso p = 2 en el artículo de Carleson, y fue demostrada por Hunt (1968). El resultado de Carleson fue mejorado aún más por Sjölin (1971) al espacio L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ ( L ) y por Antonov (1996) al espacio L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ log ₊ ( L ) . (Aquí log ₊ ( L ) es log( L ) si L > 1 y 0 en caso contrario, y si φ es una función entonces φ ( L ) representa el espacio de funciones f tales que φ (| f ( x ) |) es integrable.)

Konyagin (2000) mejoró el contraejemplo de Kolmogorov al hallar funciones con series de Fourier divergentes en todas partes en un espacio ligeramente mayor que L log ₊ ( L ) ^1/2 . Se puede preguntar si existe en algún sentido un espacio natural más grande de funciones cuyas series de Fourier convergen casi en todas partes. El candidato más simple para tal espacio que es consistente con los resultados de Antonov y Konyagin es L log ₊ ( L ) .

La extensión del teorema de Carleson a las series de Fourier y a las integrales de varias variables se hace más complicada, ya que hay muchas maneras diferentes de sumar los coeficientes; por ejemplo, se puede sumar sobre bolas cada vez mayores o sobre rectángulos cada vez mayores. La convergencia de las sumas parciales rectangulares (y, de hecho, de las sumas parciales poligonales en general) se deduce del caso unidimensional, pero el problema de la suma esférica sigue abierto para L ² .

El operador Carleson

El operador de Carleson C es el operador no lineal definido por $${\displaystyle Cf(x)=\sup _{N}\left|\int _{-N}^{N}{\hat {f}}(y)e^{2\pi ixy}\,dy\right|}$$

Es relativamente fácil demostrar que el teorema de Carleson-Hunt se deduce de la acotación del operador de Carleson desde L ^p ( R ) hasta sí mismo para 1 < p < ∞ . Sin embargo, demostrar que está acotado es difícil, y esto fue en realidad lo que demostró Carleson.

Véase también

• Convergencia de series de Fourier

Referencias

• Antonov, N. Yu. (1996), "Convergencia de las series de Fourier", East Journal on Approximations , 2 (2): 187–196, MR  1407066
• Arias de Reyna, Juan (2002), Convergencia puntual de series de Fourier , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1785, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b83346, ISBN 978-3-540-43270-8, Sr.  1906800
• Carleson, Lennart (1966), "Sobre convergencia y crecimiento de sumas parciales de series de Fourier", Acta Mathematica , 116 (1): 135–157, doi : 10.1007/BF02392815 , MR  0199631
• Fefferman, Charles (1973), "Convergencia puntual de series de Fourier", Annals of Mathematics , Segunda serie, 98 (3): 551–571, ​​doi :10.2307/1970917, JSTOR  1970917, MR  0340926
• Fremlin, David H. (2003), Teoría de la medida, vol. 2, Torres Fremlin, Colchester, ISBN 978-0-9538129-2-9, MR  2462280, archivado desde el original el 1 de noviembre de 2010 , consultado el 9 de septiembre de 2010
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