Función máxima

Las funciones máximas aparecen en muchas formas en el análisis armónico (un área de las matemáticas ). Una de las más importantes es la función máxima de Hardy-Littlewood . Desempeñan un papel importante en la comprensión, por ejemplo, de las propiedades de diferenciabilidad de funciones, integrales singulares y ecuaciones diferenciales parciales. A menudo proporcionan un enfoque más profundo y simplificado para comprender los problemas en estas áreas que otros métodos.

La función máxima de Hardy-Littlewood

En su artículo original, GH Hardy y JE Littlewood explicaron su desigualdad máxima en el lenguaje de los promedios de cricket . Dada una función f definida en R ⁿ , la función máxima no centrada de Hardy-Littlewood Mf de f se define como

${\displaystyle (Mf)(x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f|}$

en cada x en R ⁿ . Aquí, el supremo se toma sobre las bolas B en R ⁿ que contienen el punto x y | B | denota la medida de B (en este caso un múltiplo del radio de la bola elevado a la potencia n ). También se puede estudiar la función máxima centrada, donde el supremo se toma justo sobre las bolas B que tienen centro x . En la práctica, hay poca diferencia entre las dos.

Propiedades básicas

Las siguientes afirmaciones son fundamentales para la utilidad del operador maximalista Hardy-Littlewood. ^[1]

• (a) Para f ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 ≤ p ≤ ∞), Mf es finito casi en todas partes.
• (b) Si f ∈ L ¹ ( R ⁿ ), entonces existe una c tal que, para todo α > 0,

${\displaystyle |\{x\ :\ (Mf)(x)>\alpha \}|\leq {\frac {c}{\alpha }}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f|.}$

• (c) Si f ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 < p ≤ ∞), entonces Mf ∈ L ^p ( R ⁿ ) y

${\displaystyle \|Mf\|_{L^{p}}\leq A\|f\|_{L^{p}},}$

donde A depende sólo de p y c .

La propiedad (b) se denomina límite de tipo débil de Mf . Para una función integrable, corresponde a la desigualdad elemental de Markov ; sin embargo, Mf nunca es integrable, a menos que f = 0 casi en todas partes, de modo que la prueba del límite débil (b) para Mf requiere un argumento menos elemental de la teoría de la medida geométrica, como el lema de recubrimiento de Vitali . La propiedad (c) dice que el operador M está acotado en L ^p ( R ⁿ ); es claramente cierto cuando p = ∞, ya que no podemos tomar un promedio de una función acotada y obtener un valor mayor que el valor más grande de la función. La propiedad (c) para todos los demás valores de p se puede deducir entonces de estos dos hechos mediante un argumento de interpolación .

Vale la pena señalar que (c) no se cumple para p = 1. Esto se puede demostrar fácilmente calculando M χ, donde χ es la función característica de la bola unitaria centrada en el origen.

Aplicaciones

El operador maximal de Hardy-Littlewood aparece en muchos lugares, pero algunos de sus usos más notables están en las pruebas del teorema de diferenciación de Lebesgue y el teorema de Fatou y en la teoría de operadores integrales singulares .

Funciones máximas no tangenciales

La función máxima no tangencial toma una función F definida en el semiplano superior

${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\left\{(x,t)\ :\ x\in \mathbf {R} ^{n},t>0\right\}}$

y produce una función F* definida en R ⁿ mediante la expresión

${\displaystyle F^{*}(x)=\sup _{|x-y|<t}|F(y,t)|.}$

Obsérvese que para un x fijo , el conjunto es un cono en con vértice en ( x ,0) y eje perpendicular al límite de R ⁿ . Por lo tanto, el operador maximalista no tangencial simplemente toma el supremo de la función F sobre un cono con vértice en el límite de R ⁿ . ${\displaystyle \{(y,t)\ :\ |x-y|<t\}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}}$

Aproximaciones de la identidad

Una forma particularmente importante de funciones F en la que el estudio de la función máxima no tangencial es importante se forma a partir de una aproximación a la identidad . Es decir, fijamos una función suave integrable Φ en R ⁿ tal que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi =1}$

y establecer

${\displaystyle \Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi ({\tfrac {x}{t}})}$

para t > 0. Luego defina

${\displaystyle F(x,t)=f\ast \Phi _{t}(x):=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x-y)\Phi _{t}(y)\,dy.}$

Se puede demostrar ^[1] que

${\displaystyle \sup _{t>0}|f\ast \Phi _{t}(x)|\leq (Mf)(x)\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi }$

y, en consecuencia, se obtiene que converge a f en L ^p ( R ⁿ ) para todo 1 ≤ p < ∞. Este resultado se puede utilizar para demostrar que la extensión armónica de una función L ^p ( R ⁿ ) al semiplano superior converge de manera no tangencial a esa función. Se pueden obtener resultados más generales cuando el laplaciano se reemplaza por un operador elíptico mediante técnicas similares. ${\displaystyle f\ast \Phi _{t}(x)}$

Además, con algunas condiciones apropiadas en , se puede conseguir que ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle F^{*}(x)\leq C(Mf)(x)}$.

La función máxima aguda

Para una función localmente integrable f en R ⁿ , la función máxima aguda se define como ${\displaystyle f^{\sharp }}$

${\displaystyle f^{\sharp }(x)=\sup _{x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f_{B}|\,dy}$

para cada x en R ⁿ , donde el supremo se toma sobre todas las bolas B y es el promedio integral de sobre la bola . ^[2] ${\displaystyle f_{B}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$

La función aguda se puede utilizar para obtener una desigualdad puntual respecto de integrales singulares . Supongamos que tenemos un operador T que está acotado en L ² ( R ⁿ ), por lo que tenemos

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

para todas las f suaves y con soporte compacto . Supongamos también que podemos realizar T como convolución contra un núcleo K en el sentido de que, siempre que f y g sean suaves y tengan soporte disjunto

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x-y)f(y)\,dy\,dx.}$

Finalmente asumimos una condición de tamaño y suavidad en el núcleo K :

${\displaystyle |K(x-y)-K(x)|\leq C{\frac {|y|^{\gamma }}{|x|^{n+\gamma }}},}$

cuando . Entonces, para un r fijo > 1, tenemos ${\displaystyle |x|\geq 2|y|}$

${\displaystyle (T(f))^{\sharp }(x)\leq C(M(|f|^{r}))^{\frac {1}{r}}(x)}$

para todo x en R ⁿ . ^[1]

Funciones máximas en la teoría ergódica

Sea un espacio de probabilidad, y T  : X → X un endomorfismo que preserva la medida de X . La función máxima de f ∈ L ¹ ( X , m ) es ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},m)}$

${\displaystyle f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n-1}|f(T^{i}(x))|.}$

La función máxima de f verifica un límite débil análogo a la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood :

${\displaystyle m\left(\{x\in X\ :\ f^{*}(x)>\alpha \}\right)\leq {\frac {\|f\|_{1}}{\alpha }},}$

Esto es una reformulación del teorema ergódico máximo .

Función máxima de Martingala

Si es una martingala , podemos definir la función máxima de la martingala por . Si existe, muchos resultados que se cumplen en el caso clásico (por ejemplo, la acotación en y la desigualdad débil ) se cumplen con respecto a y . ^[3] ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{n}|f_{n}(x)|}$ ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle L^{p},1<p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$

Referencias

• L. Grafakos, Análisis de Fourier clásico y moderno , Pearson Education, Inc., Nueva Jersey, 2004
• EM Stein, Análisis armónico , Princeton University Press, 1993
• EM Stein, Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton University Press, 1971
• EM Stein, Temas de análisis armónico relacionados con la teoría de Littlewood-Paley , Princeton University Press, 1970

Notas

1. Stein, Elias (1993). "Análisis armónico". Princeton University Press.
2. Grakakos, Loukas (2004). "7". Análisis de Fourier clásico y moderno . Nueva Jersey: Pearson Education, Inc.
3. Stein, Elias M. (2004). "Capítulo IV: La teoría general de Littlewood-Paley". Temas de análisis armónico relacionados con la teoría de Littlewood-Paley . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.