Criterio matemático sobre si una serie converge
En matemáticas , las pruebas de convergencia son métodos para comprobar la convergencia , convergencia condicional , convergencia absoluta , intervalo de convergencia o divergencia de una serie infinita .
Lista de pruebas
Límite del sumando
Si el límite del sumando no está definido o es distinto de cero, es decir , entonces la serie debe divergir. En este sentido, las sumas parciales son de Cauchy solo si este límite existe y es igual a cero. La prueba no es concluyente si el límite del sumando es cero. Esto también se conoce como prueba del término n , prueba de divergencia o prueba de divergencia .
Prueba de proporción
Esto también se conoce como el criterio de d'Alembert .
- Consideremos dos límites y . Si , la serie diverge. Si entonces la serie converge absolutamente. Si entonces la prueba no es concluyente y la serie puede converger absolutamente, condicionalmente o divergir.
Prueba de raíz
Esto también se conoce como prueba de la raíz n -ésima o criterio de Cauchy .
- Dejar
- donde denota el límite superior (posiblemente ; si el límite existe es el mismo valor).
- Si r < 1, la serie converge de forma absoluta. Si r > 1, la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.
La prueba de la raíz es más fuerte que la prueba de la razón: siempre que la prueba de la razón determina la convergencia o divergencia de una serie infinita, la prueba de la raíz también lo hace, pero no a la inversa. [1]
Prueba integral
La serie se puede comparar con una integral para establecer la convergencia o divergencia. Sea una función no negativa y monótonamente decreciente tal que . Si
entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. En otras palabras, la serie converge si y solo si la integral converge.
pag-prueba de serie
Un corolario de uso común de la prueba integral es la prueba de la serie p. Sea . Entonces converge si .
El caso de da como resultado la serie armónica, que diverge. El caso de es el problema de Basilea y la serie converge a . En general, para , la serie es igual a la función zeta de Riemann aplicada a , es decir .
Prueba de comparación directa
Si la serie es una serie absolutamente convergente y para n suficientemente grande , entonces la serie converge absolutamente.
Prueba de comparación de límites
Si , (es decir, cada elemento de las dos secuencias es positivo) y el límite existe, es finito y distinto de cero, entonces ambas series convergen o ambas series divergen.
Prueba de condensación de Cauchy
Sea una sucesión no negativa y no creciente. Entonces la suma converge si y solo si converge . Además, si convergen, entonces se cumple.
La prueba de Abel
Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- es una serie convergente,
- es una secuencia monótona, y
- está delimitado.
Entonces también es convergente.
Prueba de convergencia absoluta
Toda serie absolutamente convergente converge.
Prueba de series alternadas
Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- es monótono,
Entonces y son series convergentes. Esta prueba también se conoce como criterio de Leibniz .
Prueba de Dirichlet
Si es una secuencia de números reales y una secuencia de números complejos que satisfacen
- para cada entero positivo N
donde M es alguna constante, entonces la serie
converge.
Prueba de convergencia de Cauchy
Una serie es convergente si y sólo si para cada hay un número natural N tal que
se cumple para todos n > N y todos p ≥ 1 .
Teorema de Stolz-Cesàro
Sean y dos sucesiones de números reales. Supongamos que es una sucesión estrictamente monótona y divergente y que existe el siguiente límite:
Entonces, el límite
Prueba M de Weierstrass
Supongamos que ( f n ) es una secuencia de funciones reales o complejas definidas en un conjunto A , y que existe una secuencia de números no negativos ( M n ) que satisfacen las condiciones
- para todos y todas , y
- converge.
Luego la serie
converge absoluta y uniformemente en A .
Extensiones a la prueba de proporción
La prueba de razón puede no ser concluyente cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones de la prueba de razón a veces permiten abordar este caso.
Sea { a n } una secuencia de números positivos.
Definir
Si
existen tres posibilidades:
- Si L > 1 la serie converge (esto incluye el caso L = ∞)
- Si L < 1 la serie diverge
- y si L = 1 la prueba no es concluyente.
Una formulación alternativa de esta prueba es la siguiente. Sea { a n } una serie de números reales. Entonces, si b > 1 y K (un número natural) existe tal que
para todo n > K entonces la serie { a n } es convergente.
Sea { a n } una secuencia de números positivos.
Definir
Si
existe, hay tres posibilidades: [2] [3]
- Si L > 1 la serie converge (esto incluye el caso L = ∞)
- Si L < 1 la serie diverge
- y si L = 1 la prueba no es concluyente.
Sea { a n } una sucesión de números positivos. Si para algún β > 1, entonces converge si α > 1 y diverge si α ≤ 1 . [4]
Sea { a n } una sucesión de números positivos. Entonces: [5] [6] [7]
(1) converge si y sólo si hay una secuencia de números positivos y un número real c > 0 tales que .
(2) diverge si y sólo si existe una secuencia de números positivos tales que
y diverge.
La prueba de Abu Mostafa
Sea una serie infinita con términos reales y sea una función real cualquiera tal que para todos los enteros positivos n y la segunda derivada exista en . Entonces converge absolutamente si y diverge en caso contrario. [8]
Notas
Ejemplos
Considere la serie
La prueba de condensación de Cauchy implica que ( i ) es finitamente convergente si
es finitamente convergente. Ya que
( ii ) es una serie geométrica con razón . ( ii ) es finitamente convergente si su razón es menor que uno (es decir ). Por lo tanto, ( i ) es finitamente convergente si y solo si .
Convergencia de productos
Si bien la mayoría de las pruebas se ocupan de la convergencia de series infinitas, también se pueden utilizar para mostrar la convergencia o divergencia de productos infinitos . Esto se puede lograr utilizando el siguiente teorema: Sea una secuencia de números positivos. Entonces, el producto infinito converge si y solo si la serie converge. Asimismo, de manera similar, si se cumple, entonces tiende a un límite distinto de cero si y solo si la serie converge.
Esto se puede demostrar tomando el logaritmo del producto y utilizando la prueba de comparación límite. [9]
Véase también
Referencias
- ^ Wachsmuth, Bert G. "MathCS.org - Análisis real: prueba de proporción". www.mathcs.org .
- ^ František Ďuriš, Serie infinita: pruebas de convergencia , págs. Tesis de licenciatura.
- ^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Bertrand". mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de abril de 2020 .
- ^ * "Criterio de Gauss", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ "Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1835 (13): 171–184. 1835-01-01. doi :10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102. S2CID 121050774.
- ^ Tong, Jingcheng (1994). "La prueba de Kummer proporciona caracterizaciones para la convergencia o divergencia de todas las series positivas". The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450–452. doi :10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
- ^ Samelson, Hans (1995). "Más sobre la prueba de Kummer". The American Mathematical Monthly . 102 (9): 817–818. doi :10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN 0002-9890.
- ^ Abu-Mostafa, Yaser (1984). "Una prueba de diferenciación para convergencia absoluta" (PDF) . Revista de Matemáticas . 57 (4): 228–231.
- ^ Belk, Jim (26 de enero de 2008). "Convergencia de productos infinitos".
Lectura adicional