Mapa métrico

Función entre espacios métricos que no aumenta ninguna distancia

En la teoría matemática de los espacios métricos , una función métrica es una función entre espacios métricos que no aumenta ninguna distancia. Estas funciones son los morfismos en la categoría de espacios métricos , Met . ^[1] Tales funciones son siempre funciones continuas . También se denominan funciones de Lipschitz con constante de Lipschitz 1, funciones no expansivas , funciones no expansivas , contracciones débiles o funciones cortas .

En concreto, supongamos que y son espacios métricos y es una función de a . Por tanto, tenemos una función métrica cuando, para cualquier punto y en , Aquí y denotan las métricas en y respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$ ${\displaystyle d_{X}}$ ${\displaystyle d_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplos

Consideremos el espacio métrico con la métrica euclidiana . Entonces la función es una función métrica, ya que para , . ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|<|x-y|}$

Categoría de mapas métricos

La composición de funciones de dos aplicaciones métricas es otra aplicación métrica, y la aplicación identidad en un espacio métrico es una aplicación métrica, que es también el elemento identidad para la composición de funciones. Así, los espacios métricos junto con las aplicaciones métricas forman una categoría Met . Met es una subcategoría de la categoría de espacios métricos y funciones de Lipschitz. Una aplicación entre espacios métricos es una isometría si y sólo si es una aplicación métrica biyectiva cuya inversa es también una aplicación métrica. Así, los isomorfismos en Met son precisamente las isometrías. ${\displaystyle \mathrm {id} _{M}\colon M\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

Mapas estrictamente métricos

Se puede decir que es estrictamente métrica si la desigualdad es estricta para cada dos puntos diferentes. Por lo tanto, una aplicación de contracción es estrictamente métrica, pero no necesariamente al revés. Nótese que una isometría nunca es estrictamente métrica, excepto en el caso degenerado del espacio vacío o de un espacio de un solo punto. ${\displaystyle f}$

Versión multivalor

Se dice que una aplicación de un espacio métrico a la familia de subconjuntos no vacíos de es Lipschitz si existe tal que para todo , donde es la distancia de Hausdorff . Cuando , se denomina no expansiva , y cuando , se denomina contracción . ${\displaystyle T\colon X\to {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\geq 0}$ $${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L=1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L<1}$ ${\displaystyle T}$

Véase también

• Contracción (teoría de operadores)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• Factor de estiramiento  : parámetro matemático de las incrustaciones
• Mapa de subcontracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Isbell, JR (1964). "Seis teoremas sobre espacios métricos inyectivos". Comentario. Math. Helv. 39 : 65–76. doi :10.1007/BF02566944.