Técnicas de prueba de convergencia

Las técnicas de prueba de convergencia son patrones canónicos de pruebas matemáticas de que las secuencias o funciones convergen a un límite finito cuando el argumento tiende al infinito.

Existen muchos tipos de secuencias y modos de convergencia , y diferentes técnicas de prueba pueden ser más apropiadas que otras para probar cada tipo de convergencia de cada tipo de secuencia. A continuación se presentan algunos de los ejemplos más comunes y típicos. Este artículo está pensado como una introducción destinada a ayudar a los profesionales a explorar las técnicas apropiadas. Los enlaces a continuación brindan detalles de las condiciones necesarias y generalizaciones a entornos más abstractos. Las técnicas de prueba para la convergencia de series , un tipo particular de secuencias correspondientes a sumas de muchos términos, se tratan en el artículo sobre pruebas de convergencia .

Convergencia enRnorte

Es común querer demostrar la convergencia de una secuencia o función , donde y se refieren a los números naturales y a los números reales , respectivamente, y la convergencia es con respecto a la norma euclidiana , . ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle ||\cdot ||_{2}}$

Los siguientes son algunos enfoques útiles para esto:

Primeros principios

La definición analítica de convergencia de a un límite es que ^[1] para todo existe un tal para todo , . La técnica de prueba más directa a partir de esta definición es encontrar un tal y probar la desigualdad requerida. Si el valor de no se conoce de antemano, las técnicas siguientes pueden ser útiles. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\infty }}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k>k_{0}}$ ${\displaystyle \|f(k)-f_{\infty }\|<\epsilon }$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle f_{\infty }}$

Mapeos de contracción

En muchos casos, la función cuya convergencia es de interés tiene la forma para alguna transformación . Por ejemplo, podría asignarse a para alguna matriz conforme , de modo que , una generalización matricial de la progresión geométrica . Alternativamente, puede ser una operación elemento por elemento, como reemplazar cada elemento de por la raíz cuadrada de su magnitud. ${\displaystyle f(k+1)=T(f(k))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle f(k+1)=Af(k)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(k)=A^{k}f(0)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(k)}$

En tales casos, si el problema satisface las condiciones del teorema de punto fijo de Banach (el dominio es un espacio métrico completo no vacío ) , entonces es suficiente demostrar la convergencia para demostrar que es una aplicación de contracción para demostrar que tiene un punto fijo. Esto requiere que para alguna constante que sea fija para todos y . La composición de dos aplicaciones de contracción es una aplicación de contracción, por lo que si , entonces es suficiente demostrar que y son ambas aplicaciones de contracción. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|T(x)-T(y)\|<\|\lambda (x-y)\|}$ ${\displaystyle |\lambda |<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle T=T_{1}\circ T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Ejemplo

Entre los ejemplos famosos de aplicaciones de este enfoque se incluyen:

• Si tiene la forma para algunas matrices y , entonces converge a si las magnitudes de todos los valores propios de son menores que 1 ^{[ cita requerida ]} . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(x)=Ax+B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T^{k}(x)}$ ${\displaystyle (I-A)^{-1}B}$ ${\displaystyle A}$

Mapeos sin expansión

Si ambas desigualdades anteriores en la definición de una aplicación de contracción se debilitan de "estrictamente menor que" a "menor o igual que", la aplicación es una aplicación no expansiva. No es suficiente probar la convergencia para probar que es una aplicación no expansiva. Por ejemplo, es una aplicación no expansiva, pero la secuencia no converge para ningún . Sin embargo, la composición de una aplicación de contracción y una aplicación no expansiva (o viceversa) es una aplicación de contracción. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(x)=-x}$ ${\displaystyle T^{n}(x)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

Mapeos de contracción en dominios limitados

Si no es una aplicación de contracción en todo su dominio, pero sí en su codominio (la imagen del dominio), eso también es suficiente para la convergencia. Esto también se aplica a las descomposiciones. Por ejemplo, considere . La función no es una aplicación de contracción, pero sí en el dominio restringido , que es el codominio de para argumentos reales. Dado que es una aplicación que no es de expansión, esto implica que es una aplicación de contracción. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(x)=\cos(\sin(x))}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle T}$

Subsecuencias convergentes

Toda sucesión acotada en tiene una subsucesión convergente, según el teorema de Bolzano-Weierstrass . Si todas estas subsucesiones tienen el mismo límite, entonces la sucesión original también converge a ese límite. Si se puede demostrar que todas las subsucesiones de deben tener el mismo límite, por ejemplo, demostrando que hay un único punto fijo de la transformación y que no hay conjuntos invariantes de que no contengan puntos fijos de , entonces la sucesión inicial también debe converger a ese límite. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Monotonía (funciones de Lyapunov)

Toda secuencia monótona acotada en converge a un límite ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Este hecho se puede utilizar directamente y también se puede utilizar para demostrar la convergencia de secuencias que no son monótonas utilizando técnicas y teoremas nombrados por Aleksandr Lyapunov . En estos casos, se define una función tal que es monótona en y por lo tanto converge. Si satisface las condiciones para ser una función de Lyapunov , entonces el teorema de Lyapunov implica que también es convergente. El teorema de Lyapunov normalmente se enuncia para ecuaciones diferenciales ordinarias , pero también se puede aplicar a secuencias de iteraciones reemplazando derivadas con diferencias discretas. ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V(f(k))}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V(f(k))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

Los requisitos básicos para ser una función de Lyapunov son que ${\displaystyle V}$

1. ${\displaystyle V(x)>0}$Para todos y ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle V(0)=0}$
2. ${\displaystyle V(f(k+1))-V(f(k))<0}$para (caso discreto) o para (caso continuo) ${\displaystyle f(k)\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$
3. ${\displaystyle V}$es "radialmente ilimitado", es decir, que para cualquier secuencia con . ${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }V(f(k))=\infty }$ ${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }||f(k)||=\infty }$

En muchos casos se puede encontrar una función de Lyapunov cuadrática de la forma , aunque también son comunes formas más complejas, por ejemplo las entropías en el estudio de la convergencia de distribuciones de probabilidad . ${\displaystyle V(x)=x^{T}Ax}$

Para las ecuaciones diferenciales de retardo , se aplica un enfoque similar con funciones de Lyapunov reemplazadas por funcionales de Lyapunov, también llamados funcionales de Lyapunov-Krasovskii.

Si la desigualdad en la condición 2 es débil, se puede utilizar el principio de invariancia de LaSalle .

Convergencia de secuencias de funciones

Para considerar la convergencia de secuencias de funciones, ^[2] es necesario definir una distancia entre funciones para reemplazar la norma euclidiana. Estas a menudo incluyen

• Convergencia en la norma (convergencia fuerte): la norma de una función, como se define, ocurre convergencia si . En este caso, se pueden aplicar todas las técnicas anteriores con esta norma de función. ${\textstyle \|g\|_{f}=\int _{x\in A}\|g(x)\|dx}$ ${\displaystyle ||f(n)-f_{\infty }||_{f}\rightarrow 0}$
• Convergencia puntual : la convergencia ocurre si para cada , . En este caso, las técnicas anteriores se pueden aplicar para cada punto con la norma apropiada para . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$
• convergencia uniforme - En la convergencia puntual, algunas regiones (abiertas) pueden converger a una velocidad arbitrariamente lenta. Con la convergencia uniforme, existe una tasa de convergencia fija tal que todos los puntos convergen al menos a esa velocidad. Formalmente, donde es el dominio de cada . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f_{\infty }(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{n}}$

Véase también

• Convergencia de series de Fourier

Convergencia de variables aleatorias

Las variables aleatorias ^[3] son ​​más complicadas que los elementos simples de . (Formalmente, una variable aleatoria es una aplicación de un espacio de eventos a un espacio de valores . El espacio de valores puede ser , como el lanzamiento de un dado, y a menudo se habla informalmente de una variable aleatoria de este tipo como si estuviera en , pero la convergencia de la secuencia de variables aleatorias corresponde a la convergencia de la secuencia de funciones , o las distribuciones , en lugar de la secuencia de valores ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x:\Omega \rightarrow V}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Existen múltiples tipos de convergencia , dependiendo de cómo se mida la distancia entre funciones.

• Convergencia en la distribución : convergencia puntual de las funciones de distribución de las variables aleatorias al límite
• Convergencia en probabilidad
• Convergencia casi segura : convergencia puntual de las asignaciones al límite, excepto en un conjunto con medida 0 en el límite. ${\displaystyle x_{n}:\Omega \rightarrow V}$ ${\displaystyle \Omega }$
• Convergencia en la media

Cada uno tiene sus propias técnicas de prueba, que quedan fuera del alcance actual de este artículo.

Véase también

• Convergencia dominada
• Teorema de Carleson que establece la convergencia puntual (de Lebesgue) casi en todas partes de las series de Fourier de funciones L2
• Los teoremas de convergencia de la martingala de Doob son un análogo de variable aleatoria del teorema de convergencia monótona

Convergencia topológica

Para todas las técnicas anteriores, se aplica de alguna manera la definición analítica básica de convergencia mencionada anteriormente. Sin embargo, la topología tiene sus propias definiciones de convergencia. Por ejemplo, en un espacio que no sea de Hausdorff , es posible que una secuencia converja a múltiples límites diferentes.

Referencias

1. Ross, Kenneth. Análisis elemental: la teoría del cálculo . Springer.
2. Haase, Markus. Análisis funcional: una introducción elemental . Sociedad Americana de Matemáticas .
3. Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . John Wesley .